C’est ainsi qu’Euclide, dans ses « Éléments », introduit la notion de parallélogramme : Étant donnés deux segments [AD] et [BC] de même longueur et portés par deux droites parallèles, les droites (AB) et (DC) sont parallèles et les segments [AB] et [DC] sont de même longueur. Explications : On trace la droite (AC). (AD) et (BC) […]
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La somme des mesures des trois angles d’un triangle est . Explications : On trace la droite parallèle à (BC) passant par A. Puis que cette droite est parallèle à (BC), on a deux paires d’angles alternes-internes de même mesure. La somme des mesures des trois angles de sommet A fait . Donc . Remarque […]
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Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, elles sont parallèles entre elles. Explications : Supposons que D1 et D2 soient parallèles à D3. Soit une droite sécante avec D1, D2 et D3. Si D1 est parallèle à D3 alors . Si D2 est parallèle à D3 alors . Donc . Ce qui […]
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Si deux droites forment avec une troisième droite des angles alternes-internes de même mesure, ces deux droites sont parallèles. Explications : Supposons que et que D1 et D2 soient sécantes en A. Les deux angles formés par et D1 en B sont opposés par le sommet donc de même mesure . est un angle externe […]
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PREMIER CAS Soient deux triangles ABC et DEF possédant deux angles de même mesure et tels que les côtés entre les angles aient la même longueur, alors les deux triangles sont isométriques. Explications : Puisque BC = EF, si on place le point E sur B, le point F sera sur C. Si on pose […]
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Soient deux triangles isocèles ABC et DEF tels que AB = DE, AC = DF et ; alors BC < EG. Explications : On place le point G tel que DEG soit isométrique à ABC. Puisque DF = DG, le triangle DGF est isocèle en D et par conséquent . Mais et . Donc . […]
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On veut construire un triangle quelconque ABC. On suppose que le plus grand côté est AB. L’inégalité triangulaire impose donc que AB < AC + BC. On trace le segment [AB]; On trace le cercle de centre A et de rayon AC; On trace le cercle de centre B et de rayon BC; Puisque AB […]
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Étant donné un triangle ABC et un point D à l’intérieur de ce triangle, et AB + AC > DB +DC. Explications : est un angle extérieur au triangle DEC donc . De même est un angle extérieur au triangle BAE donc . Comme , on peut donc en conclure que . En appliquant l’inégalité […]
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La somme des longueurs de deux côtés quelconques d’un triangle est supérieur à la longueur du troisième côté. Explications : Soit un triangle ABC pour lequel [BC] est le côté le plus long. On prolonge le segment [BA] par un segment [AD] dont la longueur est égale à celle de [AC]. On obtient ainsi un […]
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Dans un triangle, un grand côté est opposé à un grand angle. Plus précisément, étant donné un triangle ABC pour lequel AC > AB, l’angle opposé à AC aura une mesure supérieure à celui opposé à AB, c’est-à-dire . Explications : Puisque AC > AB, soit D le point du segment [AC] tel que AD […]
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Henry-Michel Rozenblum
Professeur de mathématiques
Ingénieur électronicien
Spécialiste du Cloud Computing
