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Cordes et diamètres d’un cercle

Étant donné un point F appartenant à un diamètre [BC] d’un cercle et différent du centre A de ce cercle,

  1. tout segment délimité par F et un point E quelconque du cercle aura une longueur supérieure à FC et inférieure à FB.
  2. La longueur FE sera d’autant plus proche de FB que la mesure de l’angle \widehat{EFB} sera petite.

Explications :

i) On considère la triangle AFE :
FE < FA + AE. Or AE = AB. Donc FE < FA + AB, soit FE < FB.

On considère la triangle ADF :
AD < AF + FD. Or AD = AC. Donc AC < AF + FD. Comme AC = AF + FC, il vient AF + FC < AF + FD. D’où FC < FD.

ii) Supposons que G est plus près de B que E.

Alors \alpha > \beta et \widehat{GAF} < \widehat{FAE}.

Or, Les triangles AGF et AFE ont chacun un côté de même longueur : AG = AE et un côté commun AF.

Donc d’après la proposition I.24, FG > FE.

Remarque : Il s’agit de la proposition III.7 des Éléments d’Euclide.