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Deux triangles isocèles d’angle au sommet différent

Soient deux triangles isocèles ABC et DEF tels que AB = DE, AC = DF et \alpha < \beta ; alors BC < EG.

Explications :

On place le point G tel que DEG soit isométrique à ABC. Puisque DF = DG, le triangle DGF est isocèle en D et par conséquent \widehat{DGF}=\widehat{DFG}.

Mais \widehat{DGF}<\widehat{EGF} et \widehat{DFG}<\widehat{EFG}.

Donc \widehat{EFG}<\widehat{EGF}.
Comme le plus grand côté fait face au plus grand angle, on en conclut que EG < EF, soit BC < EG.

Remarque : La réciproque de ce résultat s’établit facilement par un raisonnement par l’absurde.

Remarque : Il s’agit des propositions n°I.24 et I.25 des Éléments d’Euclide.