On cherche les solutions de l’équation : sachant que
et
sont des nombres complexes et que
.
Méthode de Cardan
On se limite au cas où et
sont des nombres réels.
On peut diviser par , ce qui donne
.
On considère que est le début de l’identité remarquable
. On obtient alors :
On veut faire apparaître une seconde fois l’expression :
Ce qui donne finalement :
L’équation à résoudre est : avec
et
Remarque : le terme en a disparu car la somme la somme des racines complexes de cette équation est nulle. À démontrer.
L’astuce consiste à remplacer la variable par deux variables
et
telles que
. L’équation devient après développement et factorisation :
.
Comme on passe d’une à deux variables, on peut leur imposer une relation supplémentaire que l’on choisit afin de simplifier notre équation.
On impose que , ce qui donne
donc
. Par ailleurs l’équation à résoudre se résume alors à
.
Nous savons que deux nombres, dont on connait la somme et le produit
, sont les solutions de l’équation
.
Par conséquent et
sont les solutions de l’équation
.
. Si
alors on trouve
puis la solution réelle
de l’équation de départ. La quantité
est appelée discriminant de l’équation
.
Exemple (amusant) :
l’équation est déjà de la forme . En posant
, on obtient l’équation :
La relation supplémentaire que nous imposons à et à
est :
, donc
. L’équation devient alors :
.
Par conséquent et
sont les solutions de l’équation
. On trouve :
et
La solution réelle de l’équation est
. Or il est assez simple de démontrer que cette solution est 1. Pour le prouver il suffit de calculer
et de constater que l’on retombe sur
. La fonction cube étant strictement croissante, 1 est le seul nombre réel égal à son cube.
De cet exemple, on tire la consigne suivante : avant de se plonger dans la résolution laborieuse décrite dans cet article, il est conseillé de rechercher l’existence d’une solution évidente.
Propriété intermédiaire
L’équation admet une solution réelle unique si et seulement si
.
Pour cela on considère la fonction . Sa dérivée est
.
Si alors la dérivée est positive et la fonction
est croissante. Elle ne s’annule que pour une seule valeur de
, et bien entendu
.
Si alors la dérivée est positive sur
et
et négative sur
.
Donc est croissante sur
et
et décroissante sur
.
Par conséquent admet un maximum relatif
et un minimum relatif
. Pour que la fonction ne s’annule qu’une seule fois, il faut que
et
soient de même signe, c’est à dire que
.
. D’où le résultat.
Discriminant négatif
L’équation possède deux solutions complexes et conjuguées
. Les racines cubiques de
sont
. Pour chaque valeur, on trouve la racine cubique de
avec la relation supplémentaire :
, et par conséquent on détermine les 3 solutions de l’équation
.
De plus, on démontre que :
donc
avec
qui est un nombre réel. Donc
Par ailleurs . Par conséquent
et
. Ainsi
Histoire : Cette méthode a été proposée par Jérôme Cardan dans son ouvrage Ars Magna publié en 1545. Cependant, Cardan se serait approprié la méthode en la volant à Niccolò Fontana dit Tartaglia (« Le Bègue »).