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Category Archives: Euclide

Éléments d’Euclide

Deux cercles tangents, l’un à l’intérieur de l’autre

Deux cercles tangents, l’un à l’intérieur de l’autre

Deux cercles de centre B et C sont tangents en un point A. L’un des cercles se trouve à l’intérieur de l’autre. Alors les points A, B et C sont alignés. Explications : Raisonnons par l’absurde en supposant que A, B et C ne sont pas alignés. La droite (BC) coupe les deux cercles en […]

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Segments sécants à un cercle

Segments sécants à un cercle

Soient un cercle de centre O et un point quelconque A extérieur au cercle. La droite (OA) coupe le cercle aux points B et D. Soit un point quelconque C du cercle. La droite (AC) coupe le cercle au point E. Alors et . Explications : On considère le triangle ACO : . (1) Or […]

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Cordes et diamètres d’un cercle

Cordes et diamètres d’un cercle

Étant donné un point F appartenant à un diamètre [BC] d’un cercle et différent du centre A de ce cercle, tout segment délimité par F et un point E quelconque du cercle aura une longueur supérieure à FC et inférieure à FB. La longueur FE sera d’autant plus proche de FB que la mesure de […]

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Deux cordes qui ne sont pas des diamètres

Deux cordes qui ne sont pas des diamètres

Deux cordes d’un cercle qui ne sont pas des diamètres de ce cercle ne se coupent par en leur milieu. Explications : Raisonnons par l’absurde en supposant que F soit le milieu de [BC] et de [DE]. Alors, d’après la proposition II.3 d’Euclide, la droite (GF) est perpendiculaire à (BC) et à (DE). Ce qui […]

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Corde et diamètre d’un cercle

Corde et diamètre d’un cercle

Si une droite passant par le centre d’un cercle coupe une corde de ce cercle par son milieu, elle sera perpendiculaire à cette corde. Explications : Il suffit de montrer que (AB) et (EF) sont deux droites perpendiculaires entre elles. E et F sont deux points du cercle de centre A donc , et par […]

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Réciproque du théorème de Pythagore

Réciproque du théorème de Pythagore

Soit un triangle ABC tel que alors ce triangle est rectangle en A. Explications : On place un point D tel que CAD soit rectangle en A et . Donc . Comme , l’égalité devient . Or . Donc d’où . Puisque et , la droite (AC) est la médiatrice de [BD], donc (AC) est […]

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Construire un parallélogramme de même aire qu’un triangle (Version 2)

Construire un parallélogramme de même aire qu’un triangle (Version 2)

Soit un triangle ABC et un angle de mesure . On veut construire un parallélogramme de même aire que celle de ABC, dont l’un des angles est et dont l’un des côtés a une longueur DE donnée. Construction : On construit le parallélogramme FGHI de même aire que ABC et dont l’un des angles est […]

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Parallélogrammes de même aire découpés dans un parallélogramme

Parallélogrammes de même aire découpés dans un parallélogramme

La diagonale d’un parallélogramme et deux droites parallèles à deux cotés du parallélogrammes et sécantes ensemble avec la diagonale, construisent deux parallélogramme de même aire. Dans la figure ci-contre les parallélogrammes FEAG et FICH ont la même aire. Explications : La diagonale (DB) coupe ABCD en deux triangles ABD et DBC de même aire : […]

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Construire un parallélogramme de même aire qu’un triangle

Construire un parallélogramme de même aire qu’un triangle

Soit un triangle ABC et un angle . On veut construire un parallélogramme DEFG dont l’un des angles est et dont l’aire est égale à celle du triangle ABC. Construction : On trace sur la droite (AB) un segment [DE] de longueur . On trace la droite parallèle à (AB) et passant par G. Elle […]

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Deux triangles de même base entre deux parallèles

Deux triangles de même base entre deux parallèles

Deux triangles, dont les bases ont la même longueur et dont les sommets sont portés par une droite parallèle à leurs bases, ont la même aire. Explications : Les triangles ABC et DBC ont une base commune. Leurs sommets A et D appartiennent à une droite parallèle à (BC). Donc leurs hauteurs [AE] et [DF] […]

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