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Category Archives: Théorèmes et propriétés

Hauteur d’un triangle rectangle

Hauteur d’un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l’angle droit découpe ce triangle en deux triangles semblables entre eux et semblables avec le triangle d’origine. Explications : Dans le triangle AHC, on a . Dans le triangle ABC, on a . Par conséquent . Ce qui donne : . Dans le triangle ABC, on a […]

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Angles externes d’un polygone

Angles externes d’un polygone

L’angle externe est l’angle de sommet A et de côté [AB) et la prolongation à partir de A du côté précédent [FA). On définit les autres angles externes de la même façon en tournant dans le même sens. La somme des mesures des angles externes d’un polygone est . Explications : Supposons que le polygone […]

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Angles d’un polynôme

Angles d’un polynôme

La somme des mesures des angles d’un polygone de côtés fait . Explications : On observe que chaque sommet d’un polygone de côtés est opposé à côtés. On peut donc découper ce polygone en triangles. Comme la somme des mesures des angles de chaque triangle est égale à , la somme des mesures des angles […]

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Angle d’un quadrilatère

Angle d’un quadrilatère

La somme des mesures des angles d’un quadrilatère est égale à . Explications : Soit ABCD est quadrilatère quelconque. On trace la diagonale [BD]. Elle coupe le quadrilatère en deux triangles. Sachant que la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à , on a : dans le triangle ABD : dans le […]

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Quadrilatère inscriptible ou cyclique

Quadrilatère inscriptible ou cyclique

Un quadrilatère inscriptible ou cyclique est un quadrilatère dont les quatre sommets sont cocycliques. Deux propriétés : ABCD est inscriptible si et seulement si ABCD est inscriptible si et seulement si les angles opposées sont supplémentaires, c’est à dire Les explications : voir les articles sur les angles inscrits et sur les points cocycliques. Remarque […]

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Angle inscrit et angle corde-tangente

Angle inscrit et angle corde-tangente

Étant donnés trois points A, B et C d’un cercle de centre O, la corde [AB] fait avec les tangentes au cercle en A et en B, un angle dont la mesure est égale à celle de l’angle inscrit . Explications : La droite (OB) est perpendiculaire avec la tangente en B. Donc . En […]

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4 points cocycliques

4 points cocycliques

Soient le cercle circonscrit au triangle ABC et un point D situé du même côté que C par rapport à la droite (AB). Ces quatre points seront cocycliques si . Explications : Raisonnons par l’absurde en supposons que le point D est en dehors du cercle et que . Considérons le triangle OBD. donc . […]

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Condition pour une bissectrice

Condition pour une bissectrice

Soient ABC un triangle et M un point du segment [BC]. La droite (BM) est la bissectrice intérieure de l’angle si . Explications : On trace la droite (KM) parallèle à (BC) afin de pouvoir utiliser le théorème de Thales et démontrer que . On observe que . . donc . Donc , soit . Ainsi […]

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Théorème de Pythagore selon Euclide

Théorème de Pythagore selon Euclide

On veut démontrer que si ABC est un triangle rectangle en A alors . Explications : Les triangles FBC et ABD sont isométriques car ils ont deux côtés de même longueur délimitant un angle de même mesure : FB = BA (FBAG est un carré). BC = BD (BDEC est un carré). . La base […]

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Théorème de Ptolomée

Théorème de Ptolomée

Étant donné un quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle de centre O, la somme des produits des côtés opposés est égale au produit des diagonales, soit : . Explications : On place le point I sur [AC] tel que . Voir Copie d’un angle. Par ailleurs car ses angles interceptent le même arc de cercle […]

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