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Category Archives: Théorèmes et propriétés

Théorème de Pythagore selon Euclide

Théorème de Pythagore selon Euclide

On veut démontrer que si ABC est un triangle rectangle en A alors . Explications : Les triangles FBC et ABD sont isométriques car ils ont deux côtés de même longueur délimitant un angle de même mesure : FB = BA (FBAG est un carré). BC = BD (BDEC est un carré). . La base […]

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Théorème de Ptolomée

Théorème de Ptolomée

Étant donné un quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle de centre O, la somme des produits des côtés opposés est égale au produit des diagonales, soit : . Explications : On place le point I sur [AC] tel que . Voir Copie d’un angle. Par ailleurs car ses angles interceptent le même arc de cercle […]

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Théorème de Reim

Théorème de Reim

Étant donnés deux cercles de centre A et B se coupant aux points C et D, et E et F deux points quelconques choisis sur l’un des cercles, les droites (EC) et (FD) coupent le second cercle aux points G et H. On démontre que les droites (EF) et (HG) sont parallèles. Explications : car […]

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Sécante découpée par une bissectrice

Sécante découpée par une bissectrice

Étant donné un triangle ABC. La bissectrice (AM) découpe (BC) dans le rapport de ses côtés adjacents [AB] et [AC]. C’est-à-dire que . Explications : On complète la figure avec la parallèle à (AM) passant par C. Elle coupe (BA) au point D. Comme (AM) et (DC) sont parallèles, on en déduit les égalités de mesures […]

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L’image d’un cercle par une translation

L’image d’un cercle par une translation

L’image d’un cercle de centre O par une translation de vecteur  est le cercle de même rayon et de centre O’ image de O par la translation. Explications : Soit un point quelconque A du cercle de centre O et A’ son image par la translation de vecteur . Alors . Comme il vient que […]

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3 droites parallèles et une sécante

3 droites parallèles et une sécante

Si trois droites parallèles et équidistantes coupent une droite sécante aux points A, F et G, alors AF = FG. Explications : C’est une conséquence directe du théorème des milieux.

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Deux triangles de même base entre deux parallèles

Deux triangles de même base entre deux parallèles

Deux triangles, dont les bases ont la même longueur et dont les sommets sont portés par une droite parallèle à leurs bases, ont la même aire. Explications : Les triangles ABC et DBC ont une base commune. Leurs sommets A et D appartiennent à une droite parallèle à (BC). Donc leurs hauteurs [AE] et [DF] […]

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Les 3 angles d’un triangle

Les 3 angles d’un triangle

La somme des mesures des trois angles d’un triangle est . Explications : On trace la droite parallèle à (BC) passant par A. Puis que cette droite est parallèle à (BC), on a deux paires d’angles alternes-internes de même mesure. La somme des mesures des trois angles de sommet A fait . Donc . Remarque […]

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Trois droites parallèles

Trois droites parallèles

Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, elles sont parallèles entre elles. Explications : Supposons que D1 et D2 soient parallèles à D3. Soit une droite sécante avec D1, D2 et D3. Si D1 est parallèle à D3 alors . Si D2 est parallèle à D3 alors . Donc . Ce qui […]

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Angles alternes internes et droites parallèles

Angles alternes internes et droites parallèles

Si deux droites forment avec une troisième droite des angles alternes-internes de même mesure, ces deux droites sont parallèles. Explications : Supposons que et que D1 et D2 soient sécantes en A. Les deux angles formés par et D1 en B sont opposés par le sommet donc de même mesure . est un angle externe […]

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