Un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si AB2 + AC2 = BC2. Explications : Il existe plusieurs centaines de démonstrations du théorème de Pythagore. On pose a = AC, b = AB et c = BC On remarque que a2, b2 et c2 sont les aires des trois carrés construits à […]
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L’aire du triangle ABE est égale au produit de la longueur de l’un de ses côtés multipliée par la longueur de la hauteur perpendiculaire à ce côté, le tout divisé par 2. Explications : On trace la hauteur de ABE issue de E. Elle coupe la droite (AB) en F. L’aire du triangle ABE est […]
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Soient un triangle ABC et un parallélogramme ABCD partageant une même base [AB]. Le sommet E du triangle est situé sur la droite portant le côté [DC] du parallélogramme opposé à sa base. Alors l’aire du parallélogramme est le double de celle du triangle. Explications : L’aire du triangle vaut : AB x EF / […]
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Deux parallélogrammes, ABCD et ABFE, construits sur des bases de même longueur AB et entre les mêmes parallèles (AB) et (DF), ont la même aire : Explications : Le parallélogramme ABCD est un carré. On sait que son aire vaut AB2. Le parallélogramme ABFE a comme base [AB] et comme hauteur [AD]. Donc son aire […]
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Les deux triangles ABC et ACD ont la même aire. Explications : ABC et ACD ont un sommet en commun : A. Par conséquent la (AH) est la hauteur issue de A commune aux deux triangles. Leur base, côté opposé au sommet A, [BC] et [CD] ont la même longueur. On nous savons que l’aire […]
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Soit un triangle ABC isocèle et rectangle en B. On trace ses trois bissectrices qui se coupent au point F. alors les droites (AC) et (DE) sont parallèles. Explications : Il suffit de vérifier que les angles alternes-externes CAE et AED sont de même mesure. Les angles ACD et AED interceptent le même arc AD […]
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Étant donné un quadrilatère quelconque ABCD et les milieux E, F, G et H de ses quatre côtés, on démontre que le quadrilatère EFGH est un parallélogramme. Explications : On complète la figure en traçant les diagonales [AC] et [BD] de ABCD. On applique ensuite le théorème des milieux. Dans le triangle ABC, E et […]
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Étant donné le triangle ABC, on construit le cercle inscrit ainsi : On trace deux bissectrices, par exemple celles issues de A et de B, qui se coupent au point O. (La figure inclut la 3ème bissectrice mais ce n’est pas nécessaire). On réalise la projection orthogonale de O sur l’un des côtés du triangle, […]
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La bissectrice de l’angle BAC coupe le côté BC au point D. On démontre l’égalité des rapports des longueurs : BD / DC = BA / AC. Explications : On complète la figure par une droite (CE) parallèle à (AD) et qui coupe la droite (AB) au point E. On peut alors écrire plus égalité de […]
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Le théorème de Ceva donne une condition nécessaire et suffisante pour que trois droites passant par les trois sommets d’un triangle soient concourantes : 1ère partie : Supposons que les droites (AD), (BE) et (CF) soient concourantes en un point M. Les triangles MDB et MDC ont la même hauteur de longueur h. Donc AireMDB […]
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Henry-Michel Rozenblum
Professeur de mathématiques
Ingénieur électronicien
Spécialiste du Cloud Computing