Théorème de Pythagore (Triangles autour d’un carré)

Soit un triangle rectangle dont les côtés mesurent a, b, et c, c étant la longueur de l’hypoténuse. Pour démontrer que a^2 + b^2 = c^2, on utilise la construction suivante :

  • On trace un carré de côté c ;
  • On entoure ce carré par 4 triangles isométriques au triangle de départ ;
  • On obtient un carré de côté a + b.

Il faut d’abord prouver qu’on obtient bien quadrilatère. Pour cela on montre que les points A, B et C sont alignés : \widehat{ABC} = \alpha + \dfrac{\pi}{2} + \beta. Or dans le triangle rectangle de départ : \alpha + \beta = \dfrac{\pi}{2}. Par conséquent \widehat{ABC} = \pi.

On calcule l’aire du grand carré de deux façons :

Calcul direct : (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Calcul par ajout d’aire : l’aire du grand carré est la somme de l’aire des petit carré et de celle de 4 triangles isométriques. Ce qui donne : c^2 + 4 \times \dfrac{ab}{2} = c^2 + 2ab.

On obtient alors l’égalité :   a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab, soit a^2 + b^2 = c^2.

 

Print Friendly, PDF & Email