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2 triangles avec deux angles de même mesure et un côté de même longueur

2 triangles avec deux angles de même mesure et un côté de même longueur

PREMIER CAS Soient deux triangles ABC et DEF possédant deux angles de même mesure et tels que les côtés entre les angles aient la même longueur, alors les deux triangles sont isométriques. Explications : Puisque BC = EF, si on place le point E sur B, le point F sera sur C. Si on pose […]

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Deux triangles isocèles d’angle au sommet différent

Deux triangles isocèles d’angle au sommet différent

Soient deux triangles isocèles ABC et DEF tels que AB = DE, AC = DF et ; alors BC < EG. Explications : On place le point G tel que DEG soit isométrique à ABC. Puisque DF = DG, le triangle DGF est isocèle en D et par conséquent . Mais et . Donc . […]

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Construction d’un triangle quelconque

Construction d’un triangle quelconque

On veut construire un triangle quelconque ABC. On suppose que le plus grand côté est AB. L’inégalité triangulaire impose donc que AB < AC + BC. On trace le segment [AB]; On trace le cercle de centre A et de rayon AC; On trace le cercle de centre B et de rayon BC; Puisque AB […]

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Angle à l’intérieur d’un triangle

Angle à l’intérieur d’un triangle

Étant donné un triangle ABC et un point D à l’intérieur de ce triangle, et AB + AC > DB +DC. Explications : est un angle extérieur au triangle DEC donc . De même est un angle extérieur au triangle BAE donc . Comme , on peut donc en conclure que . En appliquant l’inégalité […]

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Inégalité triangulaire

Inégalité triangulaire

La somme des longueurs de deux côtés quelconques d’un triangle est supérieur à la longueur du troisième côté. Explications : Soit un triangle ABC pour lequel [BC] est le côté le plus long. On prolonge le segment [BA] par un segment [AD] dont la longueur est égale à celle de [AC]. On obtient ainsi un […]

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Grand côté grand angle

Grand côté grand angle

Dans un triangle, un grand côté est opposé à un grand angle. Plus précisément, étant donné un triangle ABC pour lequel AC > AB, l’angle opposé à AC aura une mesure supérieure à celui opposé à AB, c’est-à-dire . Explications : Puisque AC > AB, soit D le point du segment [AC] tel que AD […]

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Somme deux angles dans un triangle

Somme deux angles dans un triangle

La somme des mesures de deux quelconques des trois angles d’un triangle et inférieure à 180°. Explications : Démontrons par exemple que Nous savons que (voir Angle extérieur à un triangle) Donc . Or . Donc Remarque : Il s’agit de la proposition n°I.17 des Éléments d’Euclide.

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Angle extérieur à un triangle

Angle extérieur à un triangle

Étant donné un triangle ABC et un point D sur la droite (BC), les deux angles du triangle opposés au sommet C, à savoir et ont une mesure inférieure à celle de l’angle . Explications : J’utilise le raisonnement employé par Euclide sans faire une référence explicite aux propriétés d’un parallélogramme. On place E milieu […]

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Angles opposés par le sommet

Angles opposés par le sommet

Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure. Explications : Soient deux droites (AB) et (CD) se coupant au point E. . . Or . Donc . Par conséquent . Remarque : Il s’agit de la proposition n°I.15 des Éléments d’Euclide.

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2 triangles isométriques

2 triangles isométriques

Deux triangles isométriques se superposent. Soient deux triangles ABC et DEF possédant des côtés de longueur égale deux à deux. On peut alors observer que les triangles se superposent, A sur D, B sur E et C sur F. Explications : Supposons que ces deux triangles ne se superposent pas parfaitement et que par exemple, […]

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