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Category Archives: Théorèmes et propriétés

Loi des cosinus

Loi des cosinus

Étant donné un triangle ABC quelconque, la loi des cosinus s’exprime ainsi : . Il s’agit de la généralisation du théorème de Pythagore à un triangle non rectangle. Explications : Pythagore dans le triangle AHB donne : . Or et . Donc Soit On met en facteur et on rappelle que . Ce qui donne […]

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Loi des sinus

Loi des sinus

Étant donné un triangle ABC quelconque, la loi des sinus s’exprimer ainsi : Explications : donc De même : donc si alors donc De même : donc si alors Conclusion : Remarque si un des angles est obtus : …

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Théorème de Thales

Théorème de Thales

Le théorème de Thales peut s’appliquer dans toute construction incluant deux droites parallèles et deux droites sécantes. Il établit des égalités de rapports entre certaines longueurs mesurées sur le triangle formé par la construction. Le théorème : Étant donnés  et deux droites parallèles ; deux points et sur ; deux droites sécants en passant par […]

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Symétrique central de l’orthocentre

Symétrique central de l’orthocentre

On veut démontrer que les symétriques de l’orthocentre d’un triangle appartiennent au cercle circonscrit à ce triangle. Construction : On trace un triangle ABC quelconque. On place I le milieu de [BC] On place H orthocentre de ABC. On place O centre du cercle circonscrit à ABC. On place A’ symétrique de A par rapport […]

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Symétrique axial de l’orthocentre

Symétrique axial de l’orthocentre

Les symétriques de l’orthocentre par rapport aux côtés du triangles appartiennent au cercle circonscrit au triangle. Soit H l’orthocentre du triangle ABC. On trace le cercle circonscrit à ABC (de centre O). La hauteur AH coupe ce cercle au point K. On va montrer que K est le symétrique de H par rapport à (BC). […]

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Hauteurs d’un triangle

Hauteurs d’un triangle

On veut démontrer que les trois hauteurs d’un triangles quelconques sont concourantes. Construction : On construit le triangle ABC; On trace ses trois hauteurs (AA’), (BB’) et (CC’); On trace la droite (DE) parallèle à (BC) et passant par A; On trace la droite (DF) parallèle à (AC) et passant par B; On trace la […]

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Médiatrices d’un triangle

Médiatrices d’un triangle

Les médiatrices d’un triangle sont concourantes. Explications : Soit ABC un triangle quelconque. Nommons D l’intersection des médiatrices des segments [AB] et [BC] et démontrons que D appartient à la médiatrice de [AC]. SI D appartient à la médiatrice de [AB] alors DA = DB. Si D appartient la médiatrice de [BC] alors DB = […]

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Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore

Un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si AB2 + AC2 = BC2. Explications : Il existe plusieurs centaines de démonstrations du théorème de Pythagore. On pose a = AC, b = AB et c = BC On remarque que a2, b2 et c2 sont les aires des trois carrés construits à […]

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Aire d’un triangle

Aire d’un triangle

L’aire du triangle ABE est égale au produit de la longueur de l’un de ses côtés multipliée par la longueur de la hauteur perpendiculaire à ce côté, le tout divisé par 2. Explications : On trace la hauteur de ABE issue de E. Elle coupe la droite (AB) en F. L’aire du triangle ABE est […]

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Un parallélogramme et un triangle

Un parallélogramme et un triangle

Soient un triangle ABC et un parallélogramme ABCD partageant une même base [AB]. Le sommet E du triangle est situé sur la droite portant le côté [DC] du parallélogramme opposé à sa base. Alors l’aire du parallélogramme est le double de celle du triangle. Explications : L’aire du triangle vaut : AB x EF / […]

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