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Category Archives: Théorèmes et propriétés

Théorème de Reim

Théorème de Reim

Étant donnés deux cercles de centre A et B se coupant aux points C et D, et E et F deux points quelconques choisis sur l’un des cercles, les droites (EC) et (FD) coupent le second cercle aux points G et H. On démontre que les droites (EF) et (HG) sont parallèles. Explications : car […]

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Sécante découpée par une bissectrice

Sécante découpée par une bissectrice

Étant donné un triangle ABC. La bissectrice (AM) découpe (BC) dans le rapport de ses côtés adjacents [AB] et [AC]. C’est-à-dire que . Explications : On complète la figure avec la parallèle à (AM) passant par C. Elle coupe (BA) au point D. Comme (AM) et (DC) sont parallèles, on en déduit les égalités de mesures […]

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L’image d’un cercle par une translation

L’image d’un cercle par une translation

L’image d’un cercle de centre O par une translation de vecteur  est le cercle de même rayon et de centre O’ image de O par la translation. Explications : Soit un point quelconque A du cercle de centre O et A’ son image par la translation de vecteur . Alors . Comme il vient que […]

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3 droites parallèles et une sécante

3 droites parallèles et une sécante

Si trois droites parallèles et équidistantes coupent une droite sécante aux points A, F et G, alors AF = FG. Explications : C’est une conséquence directe du théorème des milieux.

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Deux triangles de même base entre deux parallèles

Deux triangles de même base entre deux parallèles

Deux triangles, dont les bases ont la même longueur et dont les sommets sont portés par une droite parallèle à leurs bases, ont la même aire. Explications : Les triangles ABC et DBC ont une base commune. Leurs sommets A et D appartiennent à une droite parallèle à (BC). Donc leurs hauteurs [AE] et [DF] […]

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Les 3 angles d’un triangle

Les 3 angles d’un triangle

La somme des mesures des trois angles d’un triangle est . Explications : On trace la droite parallèle à (BC) passant par A. Puis que cette droite est parallèle à (BC), on a deux paires d’angles alternes-internes de même mesure. La somme des mesures des trois angles de sommet A fait . Donc . Remarque […]

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Trois droites parallèles

Trois droites parallèles

Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, elles sont parallèles entre elles. Explications : Supposons que D1 et D2 soient parallèles à D3. Soit une droite sécante avec D1, D2 et D3. Si D1 est parallèle à D3 alors . Si D2 est parallèle à D3 alors . Donc . Ce qui […]

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Angles alternes internes et droites parallèles

Angles alternes internes et droites parallèles

Si deux droites forment avec une troisième droite des angles alternes-internes de même mesure, ces deux droites sont parallèles. Explications : Supposons que et que D1 et D2 soient sécantes en A. Les deux angles formés par et D1 en B sont opposés par le sommet donc de même mesure . est un angle externe […]

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2 triangles avec deux angles de même mesure et un côté de même longueur

2 triangles avec deux angles de même mesure et un côté de même longueur

PREMIER CAS Soient deux triangles ABC et DEF possédant deux angles de même mesure et tels que les côtés entre les angles aient la même longueur, alors les deux triangles sont isométriques. Explications : Puisque BC = EF, si on place le point E sur B, le point F sera sur C. Si on pose […]

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Inégalité triangulaire

Inégalité triangulaire

La somme des longueurs de deux côtés quelconques d’un triangle est supérieur à la longueur du troisième côté. Explications : Soit un triangle ABC pour lequel [BC] est le côté le plus long. On prolonge le segment [BA] par un segment [AD] dont la longueur est égale à celle de [AC]. On obtient ainsi un […]

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