Théorème de Pythagore (2 triangles semblables dans un cercle)

Soit un triangle ABC rectangle en B tel que AB = a, BC = b et CA = c. Pour démontrer a^2 + b^2 = c^2, on utilise la construction suivante :

  • On trace un cercle de centre C et de rayon c ;
  • Soit D le second point d’intersection de (BA) et du cercle ;
  • Soient E et F les points d’intersection de (BC) et du cercle ;
  • Les triangles BFA et BED sont semblables ;
  • On démontre l’égalité recherchée grâce à la proportionnalité entre les longueurs des côtés de ces deux triangles.

Explications :

On remarque que les angles \widehat{BFA} et \widehat{EDB} interceptent le même arc de cercle AE. Ils ont donc la même mesure.

Comme BFA et BED sont rectangles en B et que \widehat{BFA} = \widehat{EDB}, on en conclut qu’ils sont semblables et que les longueurs de leurs côtés sont proportionnels. Ce qui permet d’écrire :

\dfrac{BA}{BE} = \dfrac{BF}{BD} ce qui donne \dfrac{a}{c + b} = \dfrac{c - b}{a} soit a^2 = (c - b)(c + b) c’est à dire : a^2 + b^2 = c^2.

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