Carré de la médiane d’un triangle

Soit ABC un triangle, I le pied de la médiane issue de C et H le pied de la hauteur issue de C. On démontre l’égalité suivante : CA^2 + CB^2 = 2 CI^2 + \dfrac{AB^2}{2}.

Explications :

Théorème de Pythagore appliqué à CAH, CHB et CIH :

    \[ CA^2 = CH^2 + HA^2 \qquad CB^2 = CH^2 + HB^2 \qquad CI^2 = CH^2 + HI^2 \]

Alors : CA^2 + CB^2 = 2CH^2 + HA^2 + HB^2 = 2CI^2 - 2HI^2 + HA^2 + HB^2

CA^2 + CB^2 = 2CI^2 + (HA + HI)(HA - HI) + (HB + HI)(HB - HI)

CA^2 + CB^2 = 2CI^2 + (HA + HI)AI + (HB - HI)IB

Donc CA^2 + CB^2 = 2CI^2 + \dfrac{AB}{2}(HA + HB) = 2 CI^2 + \dfrac{AB^2}{2}