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Copie d’un triangle pour qu’il soit circonscrit à un cercle

On donne un cercle de centre O et un triangle ABC. On cherche à construire un triangle GKH semblable à ABC et circonscrit au cercle de centre O.

Construction :

  • On choisit un point D quelconque sur le cercle et on trace la tangente au cercle en D.
  • On prolonge le côté [BC] du côté de B et on pose \widehat{ABL} = \alpha. On place le point E sur le cercle de telle sorte que \widehat{EOD} = \alpha.
  • On trace la tangente au cercle en E. Soit K le point d’intersection de cette tangente avec la tangente en D.
  • On prolonge le côté [BC] du côté de C et on pose \widehat{MCA} = \beta. On place le point F sur le cercle de telle sorte que \widehat{DOF} = \beta.
  • On trace la tangente au cercle en F. Elle coupe les deux premières tangentes en G et H. Le triangle recherché est GKH.

Explications :

La droite (KH) est la tangente au cercle en D donc elle est perpendiculaire à (OD). Pour la même raison la droite (GK) est perpendiculaire à (OE). Donc le quadrilatère OEKD possède deux angles droits. Sachant que la somme des angles d’un quadrilatère est égale à 2\pi, il vient que \alpha + \widehat{DKE} = \pi. Or dans le triangle ABC, \alpha + \gamma = \pi. Par conséquent \widehat{DKE} = \gamma.

En appliquant le même type de raisonnement au quadrilatère ODHF, on montre que \widehat{FHD} = \epsilon.

Donc nécessairement \widehat{EGF} = \delta et les triangles ABC et GKH sont semblables. Par ailleurs, par construction, GKH est circonscrit au cercle de centre O.

Remarque : Il s’agit de la proposition IV.3 des Élément d’Euclide.