Skip to content

Partage d’un segment en deux pour construire un carré et un rectangle de même aire

On va découper en deux parties le segment [AB] de manière à construire un rectangle et un carré de même aire.

Construction :

  • On construit le carré ABCD.
  • On place le point E milieu de [AD].
  • On trace le cercle de centre E et de rayon EB.
  • Ce cercle coupe la droite (DA) au point F.
  • On trace le cercle de centre A et de rayon AF.
  • Ce cercle coupe la droite (AB) au point H.
  • Le carré AFGH et le rectangle BCKH ont la même aire.

Explications :

Prenons AB comme unité de mesure. EA = \dfrac{1}{2}.

En considérant le triangle ABE rectangle en A, on obtient EB = \sqrt{EA^2 + AB^2} = \sqrt{ \left ( \dfrac{1}{2} \right )^2 + 1} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}.

AF = EF - EA = EB - EA = \dfrac{\sqrt{5}}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}.

L’aire du carré AFGH est : AF^2 = \left ( \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} \right )^2 = \dfrac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}.

L’aire du rectangle BCKH est BH \times BC = BH puisque BC =1.

BH = BA - HA = 1 - AF = 1 - \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}.

Donc les deux aires sont identiques.

Remarque : Il s’agit de la proposition II.11 des Éléments d’Euclide.