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Triangle d’or selon Euclide

Euclide a proposé pour le triangle d’or (qu’il ne nomme pas) la construction suivante :

Explications :

Si on prend OA = 1, alors AF = AG = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}.

Soit H le milieu de [AG]. Alors AH = \dfrac{\sqrt{5}-1}{4}.

cos(\beta) = \dfrac{AH}{AO} = AH = \dfrac{\sqrt{5}-1}{4} donc \beta = \dfrac{2\pi}{5}. Voir Triangle d’or.

Par construction OA = OB donc \gamma = \beta et \alpha = \dfrac{\pi}{5}.

Remarque : Il s’agit de la proposition IV.10 des Éléments d’Euclide.