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Triangle d’or

Un triangle d’or est un triangle isocèle dont les deux côtés de même longueur mesurent a et le troisième côté mesure b tels que \dfrac{a+b}{a} = \dfrac{a}{b} = \phi, le nombre d’or.

On démontre que les angles d’un triangle d’or mesurent 72°, 72° et 36°.

Explications :

\cos \widehat{EBF} = \dfrac{ \dfrac{b}{2} }{a} = \dfrac{b}{2a} = \dfrac{1}{2\phi}.

Or nous savons que \cos 36^\circ = \dfrac{\phi}{2} (Voir cosinus de 36°) et que \cos2x = 2\cos^2x-1.

Donc \cos 72^\circ = 2 \left ( \dfrac{\phi}{2} \right )^2 - 1 = \dfrac{\phi^2}{2} - 1 = \dfrac{\phi + 1}{2} - 1 = \dfrac{\phi - 1}{2} = \dfrac{\phi^2 - \phi}{2\phi} = \dfrac{1}{2\phi}.

On peut en conclure que \widehat{EBF} mesure 72° et que \widehat{BFE} = 180 - 2 \times 72 = 36^\circ.

Remarque :

\cos 72^\circ = \dfrac{1}{2\phi} = \dfrac{1}{1 + \sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}-1}{4}.