Le nombre d’or

Le nombre d’or, \phi, est le coefficient de proportionnalité entre deux grandeurs a et b choisies de la manière suivante :

  • a > b
  • \dfrac{a+b}{a} = \dfrac{a}{b} = \phi

On montre que \phi = \dfrac { 1 + \sqrt{5}}{2}, soit environ 1,618.

Construction :

  • On trace un segment [OA] de longueur arbitraire a,
  • On place le milieu M de [OA],
  • On trace la perpendiculaire à (OA) passant par A,
  • On trace le cercle de centre A et de rayon AM, soit \dfrac{a}{2}. Il coupe la perpendiculaire au point C,
  • On trace le cercle de centre C et passant par A,
  • On trace la droite (OC). Elle coupe le cercle de centre C en B,
  • La longueur du segment [OB] est b telle que \dfrac{a+b}{a} = \dfrac{a}{b} = \phi.

Explications :

D est le second point d’intersection entre (OB) et le cercle de centre C. BD = a. On démontre les triangles OAB et OAD sont semblables :

Ils ont un angle en commun : \widehat{AOB} = \widehat{AOD}

Les triangles OAC et BAD sont rectangles en A donc \widehat{OAB} = \widehat{DAC}.

Le triangle CAD est isocèle en C donc \widehat{DAC} = \widehat{CDA}.

Ainsi \widehat{OAB} = \widehat{CDA} ce qui montre que les triangles OAB et OAD ont deux autres angles de même mesure. Ils sont donc semblables et les longueurs de leurs côtés sont proportionnels.

Donc \dfrac{a+b}{a} = \dfrac{a}{b}.

Valeur du nombre d’or (méthode géométrique) :

Puisque la valeur de a est arbitraire, on prend a = 1.

Alors : OA = 1, AC = \dfrac{1}{2}, BD = 1, CD = \dfrac{1}{2}.

Le théorème de Pythagore appliqué au triangle OAC donne OC = \dfrac{\sqrt{5}}{2}.

Par ailleurs \phi = \dfrac{a+b}{a} = b + 1 = OB + BD = OC + CD = \dfrac{\sqrt{5}}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.

Cette méthode fournit le procédé de construction du nombre \phi :

  • On trace un segment [OA] de longueur 1,
  • On trace un segment [AC] de longueur 0,5 tel que (AC) et (AO) soient perpendiculaires,
  • On trace le cercle de centre C et de rayon 0,5,
  • On trace la droite (OC). Elle coupe le cercle au point D,
  • OD = \phi.

Valeur du nombre d’or (méthode algébrique) :

\dfrac{a+b}{a} = \dfrac{a}{b} donc 1 + \dfrac{b}{a} = \dfrac{a}{b}.

En multipliant par \dfrac{a}{b}, on obtient \dfrac{a}{b} + 1 = \left (\dfrac{a}{b} \right) ^2.

Comme \phi = \dfrac{a}{b}, l’équation à résoudre est \phi + 1 = \phi^2 ou \phi^2 - \phi - 1 = 0. La racine positive de cette équation est \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}.

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