Le nombre d’or,
, est le coefficient de proportionnalité entre deux grandeurs
et
choisies de la manière suivante :
On montre que , soit environ 1,618.
Construction :
- On trace un segment [OA] de longueur arbitraire
,
- On place le milieu M de [OA],
- On trace la perpendiculaire à (OA) passant par A,
- On trace le cercle de centre A et de rayon AM, soit
. Il coupe la perpendiculaire au point C,
- On trace le cercle de centre C et passant par A,
- On trace la droite (OC). Elle coupe le cercle de centre C en B,
- La longueur du segment [OB] est
telle que
.
Explications :
D est le second point d’intersection entre (OB) et le cercle de centre C. . On démontre les triangles OAB et OAD sont semblables :
Ils ont un angle en commun :
Les triangles OAC et BAD sont rectangles en A donc .
Le triangle CAD est isocèle en C donc .
Ainsi ce qui montre que les triangles OAB et OAD ont deux autres angles de même mesure. Ils sont donc semblables et les longueurs de leurs côtés sont proportionnels.
Donc .
Valeur du nombre d’or (méthode géométrique) :
Puisque la valeur de est arbitraire, on prend
.
Alors : .
Le théorème de Pythagore appliqué au triangle OAC donne .
Par ailleurs .
Cette méthode fournit le procédé de construction du nombre
:
- On trace un segment [OA] de longueur 1,
- On trace un segment [AC] de longueur 0,5 tel que (AC) et (AO) soient perpendiculaires,
- On trace le cercle de centre C et de rayon 0,5,
- On trace la droite (OC). Elle coupe le cercle au point D,
.
Valeur du nombre d’or (méthode algébrique) :
donc
.
En multipliant par , on obtient
.
Comme , l’équation à résoudre est
ou
. La racine positive de cette équation est
.