On démontre que
et que
.
Explications :
On sait que et que
On utilise la formule de Moivre : .
On développe le membre de gauche de cette égalité en ne conservant que sa partie imaginaire qui doit être égale à :
.
En posant et
, cette équation s’écrit :
.
Comme a n’est pas nul, il vient : .
En posant , on obtient une équation du second degré :
.
Les deux solutions de cette équation :
Ce qui donne pour , dont des valeurs approchées sont 0,59 et 0,95.
Comme et que la fonction sinus est croissante sur
alors
, et nécessairement
est
.
Sachant que , on obtient
.
On peut obtenir une expression plus simple pour :
.
On remarque que , le nombre d’or.