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Cosinus et sinus de 36°

On démontre que \cos x = \dfrac { 1 +  \sqrt{5}}{4} et que \sin x = \sqrt{ \dfrac{5 -  \sqrt{5}}{8} }.

Explications :

On sait que 36^{\circ}=\dfrac{\pi}{5} et que \sin \pi = 0

On utilise la formule de Moivre : (\cos x + i \sin x)^5 = \cos 5x + i\sin 5x.

On développe le membre de gauche de cette égalité en ne conservant que sa partie imaginaire qui doit être égale à \sin 5x :

16 \sin^5 x - 20 \sin^3 x + 5 \sin x = \sin 5x.

En posant a=\sin x et x = \dfrac{\pi}{5}, cette équation s’écrit : 16a^5-20a^3+5a = 0.

Comme a n’est pas nul, il vient : 16a^4-20a^2+5=0.

En posant b = a^2, on obtient une équation du second degré : 16b^2-20b+5=0.

Les deux solutions de cette équation :  \dfrac{5 \pm  \sqrt{5}}{8}

Ce qui donne pour \sin \dfrac{\pi}{5} : \sqrt{ \dfrac{5 \pm  \sqrt{5}}{8} }, dont des valeurs approchées sont 0,59 et 0,95.

Comme \dfrac{\pi}{6} < \dfrac{\pi}{5} < \dfrac{\pi}{4} et que la fonction sinus est croissante sur \left [ 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right ] alors \dfrac{1}{2} < \sin \dfrac{\pi}{5} < \dfrac{\sqrt{2}}{2}}, et nécessairement \sin \dfrac{\pi}{5} est \sqrt{ \dfrac{5 -  \sqrt{5}}{8} }.

Sachant que \cos^2x + \sin^2x = 1, on obtient \cos \dfrac{\pi}{5} = \sqrt{ \dfrac{3 +  \sqrt{5}}{8} }.

On peut obtenir une expression plus simple pour \cos \dfrac{\pi}{5}\sqrt{ \dfrac{3 +  \sqrt{5}}{8} } = \sqrt{ \dfrac{6 +  2\sqrt{5}}{16} } =  \dfrac { \sqrt{1 +  2\sqrt{5} + 5}}{4} = \dfrac { \sqrt{(1 +  \sqrt{5})^2} }{4} = \dfrac { 1 +  \sqrt{5}}{4} .

On remarque que 2 \cos \dfrac{\pi}{5} = \phi, le nombre d’or.