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Hauteur d’un triangle rectangle


Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l’angle droit découpe ce triangle en deux triangles semblables entre eux et semblables avec le triangle d’origine.

Explications :

Dans le triangle AHC, on a \alpha+\gamma=\dfrac{\pi}{2}.

Dans le triangle ABC, on a \alpha+\delta=\dfrac{\pi}{2}.

Par conséquent \alpha+\gamma=\alpha+\delta. Ce qui donne : \gamma = \delta.

Dans le triangle ABC, on a aussi \beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}. Donc \alpha+\gamma=\beta+\gamma. Ce qui donne : \alpha = \beta.

On en conclut que les triangles AHC, HBC et ABC sont semblables.

Remarque : Il s’agit de la proposition VI.8 des Éléments d’Euclide.