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Grand côté grand angle

Dans un triangle, un grand côté est opposé à un grand angle. Plus précisément, étant donné un triangle ABC pour lequel AC > AB, l’angle opposé à AC aura une mesure supérieure à celui opposé à AB, c’est-à-dire \widehat{ABC}>\widehat{ACB}.

Explications :

Puisque AC > AB, soit D le point du segment [AC] tel que AD = AB.

\widehat{ADB} est extérieur au triangle DBC, donc \widehat{ADB} > \widehat{ACB}.

Comme ADB est isocèle en A, on a \widehat{ABD} = \widehat{ADB}.

Donc \widehat{ABD} > \widehat{ACB}.

Or \widehat{ABC} > \widehat{ABD}.

On en déduit que \widehat{ABC}>\widehat{ACB}.

Remarque : un raisonnement facile par l’absurde permet d’établir la réciproque de cette proposition : dans un triangle, un grand angle est opposé à un grand côté.

Remarque : Il s’agit des propositions n°I.18 et I.19 des Éléments d’Euclide.