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Angle extérieur à un triangle

Étant donné un triangle ABC et un point D sur la droite (BC), les deux angles du triangle opposés au sommet C, à savoir \widehat{CBA} et \widehat{BAC} ont une mesure inférieure à celle de l’angle \widehat{DCA}.

Explications :

J’utilise le raisonnement employé par Euclide sans faire une référence explicite aux propriétés d’un parallélogramme.

On place E milieu de [AC] et F symétrique de B par rapport à F. \widehat{CEF} = \widehat{AEB} car ce sont des angles opposés par le sommet.

Par construction nous avons les égalités de distances : AE = EC et BE = EF. Par conséquent les triangles AEB et CEF sont isométriques. Ce qui permet d’affirmer que \widehat{EAB} = \widehat{FEC}, c’est à dire \widehat{CAB} = \widehat{FCA}. Comme \widehat{FCA} < \widehat{DCA}, on en conclut que \widehat{CAB} < \widehat{DCA}.

On montrerait de la même manière que \widehat{CBA} < \widehat{DCA}.

Remarque : Il s’agit de la proposition n°I.16 des Éléments d’Euclide.