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Parallélogrammes de même aire découpés dans un parallélogramme

La diagonale d’un parallélogramme et deux droites parallèles à deux cotés du parallélogrammes et sécantes ensemble avec la diagonale, construisent deux parallélogramme de même aire. Dans la figure ci-contre les parallélogrammes FEAG et FICH ont la même aire.

Explications :

La diagonale (DB) coupe ABCD en deux triangles ABD et DBC de même aire : \mathcal{A}_{ABD} = \mathcal{A}_{DBC}. (1)

La diagonale (DF) coupe DEFH en deux triangles DEF et DFH de même aire : \mathcal{A}_{DEF} = \mathcal{A}_{DFH}.

La diagonale (FB) coupe FGBI en deux triangle FGB et FBI de même aire : \mathcal{A}_{FGB} = \mathcal{A}_{FBI}.

L’égalité (1) devient : \mathcal{A}_{DEF} + \mathcal{A}_{FEAG} + \mathcal{A}_{FGB} = \mathcal{A}_{DFH} + \mathcal{A}_{FICH} + \mathcal{A}_{FBI}.

En simplifiant il reste : \mathcal{A}_{FEAG} = \mathcal{A}_{FICH}.

Remarque : Il s’agit de la proposition I.43 des Éléments d’Euclide.