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Deux cercles tangents, l’un à l’intérieur de l’autre

Deux cercles de centre B et C sont tangents en un point A. L’un des cercles se trouve à l’intérieur de l’autre. Alors les points A, B et C sont alignés.

Explications :

Raisonnons par l’absurde en supposant que A, B et C ne sont pas alignés. La droite (BC) coupe les deux cercles en D et E.

On peut écrire alors que : BA = BE puisque A et E appartiennent au cercle de centre B.

Considérons le cercle de centre C. [CD] est un rayon de ce cercle et B, C, D sont alignés. Donc d’après la proposition III.7 d’Euclide, BA  < BD.

Mais si BA = BE, cela implique que BE < BD, ce qui est impossible.

Remarque : Il s’agit de la proposition III.11 des Éléments d’Euclide.