Soit un triangle ABC tel que
alors ce triangle est rectangle en A.
Explications :
On place un point D tel que CAD soit rectangle en A et .
Donc . Comme
, l’égalité devient
.
Or . Donc
d’où
.
Puisque et
, la droite (AC) est la médiatrice de [BD], donc (AC) est perpendiculaire à (BD). Mais (AC) est aussi perpendiculaire à (AD). Donc (AD) = (BD) et les points A, B et D sont alignés. Par conséquent ABC est un triangle rectangle en A.
Remarque : Il s’agit de la proposition I.48 des Éléments d’Euclide.