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Segments sécants à un cercle

Soient un cercle de centre O et un point quelconque A extérieur au cercle. La droite (OA) coupe le cercle aux points B et D. Soit un point quelconque C du cercle. La droite (AC) coupe le cercle au point E. Alors AB < AC et AE < AD.

Explications :

On considère le triangle ACO : AO < AC + CO. (1)

Or CO = BO et AO = AB + BO.

Donc (1) devient : AB + BO < AC + BO. En simplifiant il vient : AB < AC.

On considère le triangle AEO : AE < AO + OE. (2)

Or OE = OD dont AO + OE = AO + OD = AD

Ainsi (2) devient : AE < AD.

Remarque : Il s’agit de la partie principale de la proposition III.8 des Éléments d’Euclide.