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Triangle d’argent

Un triangle d’argent est un triangle isocèle dont les deux côtés de même longueur mesurent b et le troisième côté mesure a tels que \dfrac{a+b}{a} = \dfrac{a}{b} = \phi, le nombre d’or.

On démontre que les angles d’un triangle d’argent mesurent 36°, 36° et 108°.

Explications :

\cos \widehat{HGK} = \dfrac{ \dfrac{a}{2} }{b} = \dfrac{a}{2b} = \dfrac{\phi}{2}.

Or nous savons que \cos 36^\circ = \dfrac{\phi}{2} (Voir cosinus de 36°).

On peut en conclure que \widehat{HGK} mesure 36° et que \widehat{HKG} = 180 - 2 \times 36 = 108^\circ.

Curiosité : On peut toujours former un triangle d’or à partir d’un triangle d’or et d’un triangle d’argent.

Le triangle FIE est un triangle d’or composé d’un autre triangle d’or FBE et d’un triangle d’argent FIB.

Explications :

Il faut vérifier que les dimensions de FIE respectent le coefficient de proportion \phi, le nombre d’or. C’est-à-dire, a-t-on l’égalité : \dfrac{(a+b)+a}{a+b} = \dfrac{a+b}{a} ? On va utiliser le fait que \dfrac{a+b}{a} = \dfrac{a}{b}.

\dfrac{(a+b)+a}{a+b} = 1 + \dfrac{a}{a+b} = 1 + \dfrac{b}{a} = \dfrac{a+b}{a}.