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Tangente et égalité d’angle

Autre scénario de construction de la tangente à un cercle en un point donné.

Construction : Soit un cercle de centre O et un point A de ce cercle.

  • On choisit arbitrairement un autre point B du cercle et on trace le cercle de centre B passant par A.
  • Les deux cercles se coupent au point C. On trace le cercle de centre A passant par C.
  • Les cercles de centre A et B se coupent en un point D. La droite (AD) est la tangente au cercle en A.

Explications :

On va démontrer que les droites (OA) et (AD) sont perpendiculaires.

\widehat{DAO} = \widehat{DAG} + \widehat{GAO}.

Dans le triangle GOA : \widehat{GAO} = \dfrac{\pi}{2} - \widehat{AOG} = \dfrac{\pi}{2} - 2\widehat{AEG} = \dfrac{\pi}{2} - \widehat{AEC} = \dfrac{\pi}{2} - \widehat{DAG}.

Donc \widehat{DAO} = \widehat{DAG} + \dfrac{\pi}{2} - \widehat{DAG} = \dfrac{\pi}{2}.

Voir les articles :

Autre résultat : La droite (AB) est la bissectrice de l’angle \widehat{DAC}.

La droite (AG) est la hauteur issue de A du triangle rectangle ABE. Par conséquent les triangles GAB et ABE sont semblables. Donc \widehat{AEB}=\widehat{BAG}.

Or \widehat{AEB}=\dfrac{\widehat{AEC}}{2} et \widehat{AEC}=\widehat{DAC}.

Par conséquent \widehat{BAG}=\dfrac{\widehat{DAC}}{2}, ce qui démontre que (AB) est la bissectrice de \widehat{DAC}.