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Racine carrée d’un nombre

On construit la racine carrée du nombre a en reprenant le protocole de construction du carré du nombre a :

  1. On trace un segment BE de longueur a.
  2. On le prolonge par un segment BD de longueur 1.
  3. On place le point F milieu du segment [ED].
  4. On trace le cercle de centre F passant par E,
  5. On trace la perpendiculaire à ED passant par B. Cette perpendiculaire coupe le cercle en deux points A et C. La longueur du segment [AB] vaut \sqrt{a}.

Explications :

AF = FD = \dfrac{EB + BD}{2} = \dfrac{a+1}{2}
BF = FD - BD = \dfrac{a+1}{2}-1 =\dfrac{a-1}{2}
On considère le triangle BAF rectangle en B. Selon Pythagore, AF^2=AB^2+BF^2.
Donc AB^2 = \left( \dfrac{a+1}{2} \right) ^2 - \left( \dfrac{a-1}{2} \right) ^2 = a.
Conclusion : AB = \sqrt{a}.

Remarque : AB est la moyenne géométrique de BD et BE.

Remarque : Il s’agit de la proposition VI.13 des Éléments d’Euclide.