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Lieu géométrique des points formant avec les extrémités d’un segment un angle de mesure constante

Étant donné un segment, quel est le lieu géométrique des points, faisant avec les deux extrémités de ce segment, un angle de mesure donnée ?

Réponse : il s’agit d’un arc de cercle qui a pour corde le segment donné et pour centre le point de la médiatrice du segment faisant avec les extrémités du segment un angle de mesure double de celle donnée.

Explications :

Soit un segment [AB] et une mesure d’angle \alpha.

Soit le point O appartenant à la médiatrice de [AB] et tel que \widehat{AOB}=2\alpha et  Alors OA = OB. Soit alors \Gamma, le cercle de centre O et passant par A et B.

Soit un point C tel que \widehat{ACB}=\alpha. Supposons que C \notin \Gamma.(raisonnement par l’absurde).

Soit alors D l’intersection de la droite (CB) avec \Gamma. D’après la propriété de l’angle inscrit et de l’angle au centre, on sait que \widehat{ADB}=\alpha, ce qui est contradictoire avec l’hypothèse que \widehat{ACB}=\alpha.

Donc C \in \Gamma.

Voir : Angle à l’intérieur d’un triangle