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Angle à l’intérieur d’un triangle

Étant donné un triangle ABC et un point D à l’intérieur de ce triangle, \widehat{BDC}>\widehat{BAC} et AB + AC > DB +DC.

Explications :

\widehat{BDC} est un angle extérieur au triangle DEC donc \widehat{BDC}>\widehat{DEC}.

De même \widehat{DEC} est un angle extérieur au triangle BAE donc \widehat{DEC}>\widehat{BAE}.

Comme \widehat{BAE}=\widehat{BAC}, on peut donc en conclure que \widehat{BDC}>\widehat{BAC}.

En appliquant l’inégalité triangulaire au triangle BAE, on obtient BA + AE > BE, donc BA + AE + EC > BE + EC, soit BA +AC > BE + EC.

De la même façon, à partir du triangle DEC, on obtient DE + EC > DC, donc DE + EC + BD > DC + BD, soit BE + EC > DC + BD.

Conclusion : BA + AC > BD + DC

Remarque : Il s’agit de la proposition n°I.21 des Éléments d’Euclide.