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Inégalité triangulaire

La somme des longueurs de deux côtés quelconques d’un triangle est supérieur à la longueur du troisième côté.

Explications :

Soit un triangle ABC pour lequel [BC] est le côté le plus long. On prolonge le segment [BA] par un segment [AD] dont la longueur est égale à celle de [AC]. On obtient ainsi un triangle DAC isocèle en A.

Par conséquent \widehat{ADC}=\widehat{DCA}.

Comme \widehat{DCA}<\widehat{DCB} et \widehat{ADC}=\widehat{BDC}, il vient que \widehat{BDC}<\widehat{DCB}.

Puisqu’à un grand angle correspond un grand côté, on peut conclure que BC < BD, soit BC < AB + AC.

Remarque : Il s’agit de la proposition n°I.20 des Éléments d’Euclide.