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Angle inscrit et angle au centre

On construit l’angle au centre et l’angle inscrit dans un cercle de centre O ainsi :

  1. On choisit trois points quelconques du cercle : A, B et C.On trace l’angle ACB, c’est un angle inscrit.
  2. On trace l’angle AOB, c’est un angle au centre dont la mesure représente le double de celle de l’angle au inscrit ACB. On dit que les deux angles interceptent le même arc de cercle AB.

Explications :

On cherche à démontrer que x = 2a.

On observe que les triangles OAC, OBC et OAB sont isocèles et donc que leurs angles à la base ont la même mesures.

On considère le triangle ABC. La somme de des mesures de ses trois angles fait 180°, soit l’égalité : (c + e) + (e + d) + (c + d) = 180 que l’on peut simplifier en 2(c + d) + 2e = 80. Comme c + d = a, l’égalité devient 2a + 2e = 180 d’où la valeur de 2e = 180 – 2a.

On considère à présent le triangle OAB et on écrit que la somme des mesures de ses trois angles fait 180°, soit l’égalité : x + e + e = 180. Donc x = 180 – 2e = 180 – (180 – 2a) = 2a. L’angle au centre a donc une mesure égale à deux fois celle de l’angle inscrit interceptant le même arc de cercle.

Conséquence :

Tous les angles inscrits interceptant le même arc de cercle ont la même mesure.