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Les ensembles de nombres

I – Les entiers naturels

Définition
L’ensemble des entiers naturels, noté \mathbb{N}, est l’ensemble des nombres entiers positifs ou nul. Ce sont les nombres qui servent à compter des objets ou des êtres vivants.

\mathbb{N} = \lbrace 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \dots \rbrace

Notation
  • On emploie le signe \in pour indiquer qu’un nombre appartient à un ensemble.
  • On emploie le signe \notin pour indiquer qu’un nombre n’appartient pas à un ensemble.

Exemple : 3 \in \mathbb{N} mais -3 \notin \mathbb{N}.

II – Les entiers relatifs

Définition
L’ensemble des entiers relatifs, noté \mathbb{Z}, est l’ensemble des nombres entiers positifs ou nul, et de leurs opposés.

\mathbb{Z} = \lbrace \dots -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \dots \rbrace

Remarque : Z est la première lettre du verbe allemand Zählen qui signifie compter.

Les nombres négatifs permettent, par exemples, des calculs de gains et de pertes. Ils servent également à se repérer sur un droite, un plan ou dans l’espace à trois dimensions, par rapport à une origine.

III – Les nombres décimaux

Définition
  • L’ensemble des nombres décimaux, noté \mathbb{D}, est l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
  • Autrement dit : un nombre est décimal s’il peut s’écrire sous la forme \dfrac{a}{10^b}, où a \in \mathbb{Z} et n\in \mathbb{N}.
  • Ce sont les nombres négatifs ou positifs possédant un nombre fini de chiffres après la virgule.

Exemple : 3,14 = \dfrac{314}{100} = \dfrac{314}{10^2}.

Les nombres décimaux permettent de diviser une unité en sous-unités : les dixièmes, les centièmes,… afin d’être plus précis dans les calculs ou dans les repérages dans l’espace.

IV – Les nombres rationnels

Définition
  • L’ensemble des nombres rationnels, noté \mathbb{Q}, est l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction.
  • Autrement dit : un nombre est rationnel s’il peut s’écrire sous la forme \dfrac{a}{b}, où a \in \mathbb{Z} et b \in \mathbb{N}..

Etymologie : Rationnel dans le sens « ratio », proportion en anglais, qui vient du latin « ratio » signifiant calcul et qu’on retrouve en français avec le mot ration.

Exemples :

  • \dfrac{1}{3} = 0,333 \dots
  • \dfrac{2}{1} = 0,18 18 18 \dots

L’écriture sous décimale d’un nombre rationnel est toujours périodique.

Les nombres rationnels permettent de traduire en nombres la notion de partage, quelque soit le dénominateur.

V – Les nombres réels

Définition

Il s’agit de l’ensemble de tous les nombres possibles y compris ceux qui ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’une fraction, et que l’on appelle les nombres irrationnels.Cet ensemble est noté noté \mathbb{R}.

Exemples : \sqrt{2}, \pi

Notation
On emploie le signe \subset pour indiquer qu’un ensemble est inclus dans un ensemble plus grand.

Ainsi nous avons les relations suivantes : \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.

Cela signifie que

  • tous les entiers naturels sont aussi des entiers relatifs qui sont eux-même des nombres décimaux qui sont des nombres rationnels qui sont des nombres réels ;
  • Un même nombre admet plusieurs écritures différentes. Par exemple le nombre 2 peut aussi s’écrire : 2,0 ou \dfrac{2}{1} ou \dfrac{4}{2} ou \sqrt{4} \dots.

VI – Droite numérique

Définitions
Une droite graduée est une droite sur laquelle on fixe :

  • un point O appelé origine de la droite graduée ;
  • une unité.
  • Tout point d’une droite graduée peut être repéré par un nombre réel unique appelé son abscisse.

Exemple :

  • L’abscisse de l’origine O est le nombre 0.
  • Les points A, B et C ont pour abscisses respectives –4 ; –-2,5 et 4.
    On note A(–-4) ; B(–-2,5) et C(4).

VII – Intervalles

Définitions
Les intervalles de nombres réels sont des portions de la droite numérique. Il existe plusieurs types d’intervalles :

Soient deux réels a et b tels que a < b.

L’intervalles des réels x tels que est noté et est représenté sur la droite numérique par
a<x<b

a et b sont exclus de l’intervalle

]a \: ; \: b[
a<x \le b

a est exclu de l’intervalle

]a \: ; \: b]
x>a

a est exclu de l’intervalle

]a \: ; \: + \infty[
x \le b

b est inclu dans l’intervalle

]-\infty \: ; \: b]

+\infty se lit « plus l’infini », c’est-à-dire vers les plus grands nombres. -\infty se lit « moins l’infini », c’est-à-dire vers les plus petits nombres.

VIII – Valeur absolue

Définition
La valeur absolue d’un nombre réel est sa distance à zéro. Soit a \in \mathbb{R}, la valeur absolue de a est notée \vert a \vert.

Si a > 0, \vert a \vert = a

Si a < 0, \vert a \vert = -a

\vert 0 \vert = 0

Exemples :

  • \vert 4 \vert = 4. C’est la distance OA.
  • \vert \ -6 \vert = 6. C’est la distance OB.

 

Propriété
Deux réels opposés ont la même valeur absolue : soit a \in \mathbb{R}, \vert a \vert = \vert -a \vert.

Propriété
Soient a et b deux nombres réels,  \vert a - b \vert = \vert b - a \vert.

Démonstration : b - a = -(a-b). Donc b-a et a-b sont opposés. Alors ils ont la même valeur absolue.

Propriété
Soient a et b deux nombres réels, abscisses respectives des point A et B. \vert a - b \vert est la distance de A à B, notée AB.

Exemple : Soient les points A(4) et B(-6).

AB = AO + OB = 4 + 6 = 10

\vert 4 -(-6) \vert = \vert 10 \vert = 10 ou

\vert (-6)-4 \vert = \vert -10 \vert = 10.

Démonstration :

1er cas : 0 < a < b

Comme b>a alors b-a>0, donc \vert b-a \vert = b-a

AB = OB - OA = b-a = \vert b-a \vert.

 

2ème cas : a < 0 < b

Comme b>a alors b-a>0, donc \vert b-a \vert = b-a

AB = AO + OB = (-a) + b = b-a = \vert b-a \vert

 

3ème cas : a < b < 0

Comme b>a alors b-a>0, donc \vert b-a \vert = b-a

AB = AO - BO = (-a) - (-b) = -a + b = b-a = \vert b-a \vert

 

Propriété
Soit b \in \mathbb{R} tel que b>0. Dire que x \in [-b ; b] est équivalent à \vert x \vert < b.

La figure de droite décrit la situation de cette propriété :

  • 2 points B(b) et B'(-b) sont symétriques par rapport à l’origine O et
  • un point M(x) est situé entre B et B’.
  • La distance OM est nécessairement inférieur à OB, c’est-à-dire que  \vert x \vert < b.

Démonstration :

1ère partie : Supposons que x \in [-b ; b], c’est-à-dire que -b < x < b.

Cas n°1 : x > 0 alors \vert x \vert = x. Si x < b alors \vert x \vert < b

Cas n°2 : x < 0 alors \vert x \vert = -x. Si -b < x alors b > -x. Donc b > \vert x \vert.

2ème partie (réciproque) : Supposons que \vert x \vert < b.

Cas n°1 : x > 0 alors \vert x \vert = x. Donc x < b.

b>0 donc -b < 0. Comme x > 0, nécessairement x > - b. On en conclut que -b < x < b, c’est-à-dire que x \in [-b ; b].

Cas n°2 : x < 0 alors \vert x \vert = -x, donc -x < b, ce qui donne x > -b.

Étant donné que x<0 et que b>0, nécessairement x < b. On en conclut que -b < x < b, c’est-à-dire que x \in [-b ; b].

Propriété
Soient a \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{R} tel que r>0. Dire que x \in [a-r ; a+r] est équivalent à \vert x - a \vert < r

Exemple : a = 3, r = 10^{-2}, x = 3,004

  • a-r = 2,99, a+r=3,01. On a bien 3,004 \in [2,99 ; 3,01] et
  • x-a = 0,004 = \vert x-a \vert. On a bien 0,004 < 0,01

Démonstration :

1ère partie : Supposons que x \in [a-r ; a+r].

Cela signifie que a-r < x < a+r, c’est-à-dire : a-r < x et x < a+r.

a-r < x donne -r < x-a. x < a+r donne x-a<r.

Donc nous avons obtenu : -r < x-a < r. On en conclut que \vert x - a \vert < r.

2ème partie (réciproque) : Supposons que \vert x - a \vert < r.

Cela signifie que -r < x-a < r, c’est-à-dire : -r < x-a et x-a < r.

Si -r < x-a alors -r+a < x. Si x-a < r alors x < a+r.

On obtient donc a-r < x < a+r, soit x \in [a-r ; a+r].

IX – Valeur approchée

Définition
Soient x \in \mathbb{R} et n \in \mathbb{Z}. Le nombre a est une valeur approchée de x à 10^n près si et seulement si \vert x - a \vert < 10^n.

Exemples :

La distance Terre-Lune est de 384 399 km. 384 000 km représente une valeur approchée de cette distance à 10^3 près. Car 384 399 - 384 000 = 399 et 399 < 10^3.

La valeur de \pi qui intervient dans le calcul du périmètre d’un cercle est 3.141 592 653 59 … La valeur approchée de \pi à 10^{-2} près est bien connue : 3,14.