I – Les entiers naturels

Définition

L’ensemble des entiers naturels, noté $\mathbb{N}$ , est l’ensemble des nombres entiers positifs ou nul. Ce sont les nombres qui servent à compter des objets ou des êtres vivants.

$\mathbb{N} = \lbrace 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \dots \rbrace$

Notation

On emploie le signe $\in$ pour indiquer qu’un nombre appartient à un ensemble.
On emploie le signe $\notin$ pour indiquer qu’un nombre n’appartient pas à un ensemble.

Exemple : $3 \in \mathbb{N}$ mais $-3 \notin \mathbb{N}$ .

Définition

$a$ et $b$ sont des entiers naturels. $b$ est un diviseur de $a$ si l’on peut trouver un entier $q$ tel que $a = b \times q$ .`

On dit aussi que $a$ est divisible par $b$ ou que $a$ est un multiple de $b$ (ou encore que $b$ divise $a$ ).

Exemple : $110$ est un multiple de $10$ car $110=11 \times 10$ . $11$ est aussi un multiple de $110$ .

Définition

Un nombre est pair si et seulement il est un multiple de 2 S’il n’est pas divisible par 2, c’est un nombre impair.

Propriété

Soit $n \in \mathbb{N}$ .

$n$ est pair si et seulement s’il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $n = 2k$ .
$n$ est pair si et seulement s’il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $n = 2k+1$ .

Propriété

Soit $n \in \mathbb{N}$ . La somme et le produit de deux multiples de $n$ sont des multiples de $n$ .

Démonstration : Soient $a$ et $b$ deux multiples de $n$ .

Alors il existe deux entiers $k$ et $k'$ tels que : $a=kn$ et $b=k'n$ .

$a + b = kn + k'n = (k+k')n$ . Ce qui démontre que $a+b$ et un multiple de $n$ .

On démontre de façon similaire que $ab$ est aussi un multiple de $n$ .

Propriété

Le carré d’un nombre pair est pair.
Le carré d’un nombre impair est impair.

Démonstration : Soit $a \in \mathbb{N}$ et supposons que $a$ est impair.

Alors il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $a = 2k + 1$ .

$a^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ . Donc $a^2$ est la somme d’un multiple de 2 et 1. Cela démontre que $a^2$ est impair.

On démontre de façon similaire que le carré d’un nombre pair est pair.

II – Les entiers relatifs

Définition

L’ensemble des entiers relatifs, noté $\mathbb{Z}$ , est l’ensemble des nombres entiers positifs ou nul, et de leurs opposés.

$\mathbb{Z} = \lbrace \dots -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \dots \rbrace$

Remarque : Z est la première lettre du verbe allemand Zählen qui signifie compter.

Les nombres négatifs permettent, par exemples, des calculs de gains et de pertes. Ils servent également à se repérer sur un droite, un plan ou dans l’espace à trois dimensions, par rapport à une origine.

III – Les nombres décimaux

Définition

L’ensemble des nombres décimaux, noté $\mathbb{D}$ , est l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
Autrement dit : un nombre est décimal s’il peut s’écrire sous la forme $\dfrac{a}{10^b}$ , où $a \in \mathbb{Z}$ et $n\in \mathbb{N}$ .
Ce sont les nombres négatifs ou positifs possédant un nombre fini de chiffres après la virgule.

Exemple : $3,14 = \dfrac{314}{100} = \dfrac{314}{10^2}$ .

Les nombres décimaux permettent de diviser une unité en sous-unités : les dixièmes, les centièmes,… afin d’être plus précis dans les calculs ou dans les repérages dans l’espace.

IV – Les nombres rationnels

Définition

L’ensemble des nombres rationnels, noté $\mathbb{Q}$ , est l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction.
Autrement dit : un nombre est rationnel s’il peut s’écrire sous la forme $\dfrac{a}{b}$ , où $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N}$ ..

Etymologie : Rationnel dans le sens “ratio”, proportion en anglais, qui vient du latin “ratio” signifiant calcul et qu’on retrouve en français avec le mot ration.

Exemples :

$\dfrac{1}{3} = 0,333 \dots$
$\dfrac{2}{1} = 0,18 18 18 \dots$

L’écriture sous décimale d’un nombre rationnel est toujours périodique.

Les nombres rationnels permettent de traduire en nombres la notion de partage, quelque soit le dénominateur.

Définition

Deux nombres sont premiers entre eux s’ils n’ont aucun diviseur commun autre que 1

Exemple : 14 et 15 sont premiers entre eux. Car :

les diviseurs de 14 sont : 1 ; 2 ; 7 et 14.
les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 ; 5, et 15.

Définition

Une fraction est irréductible si et seulement si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Simplifier une fraction c’est trouver une fraction irréductible qui lui soit égale. La méthode consiste à déterminer les décompositions en facteurs premiers du numérateur et du dénominateur.

Exemple : Simplifions $\dfrac{360}{126}$

On sait déjà que $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$

$126 = 2 \times 63 = 2 \times 3 \times 21 = 2 \times 3 \times 3 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7$

$\dfrac{360}{126} = \dfrac{2^3 \times 3^2 \times 5}{2 \times 3^2 \times 7} = \dfrac{2^2 \times 5}{7} = \dfrac{20}{7}$

V – Les nombres réels

Définition

Il s’agit de l’ensemble de tous les nombres possibles y compris ceux qui ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’une fraction, et que l’on appelle les nombres irrationnels.Cet ensemble est noté noté $\mathbb{R}$ .

Exemples : $\sqrt{2}, \pi$

Notation

On emploie le signe $\subset$ pour indiquer qu’un ensemble est inclus dans un ensemble plus grand.

Ainsi nous avons les relations suivantes : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ .

Cela signifie que

tous les entiers naturels sont aussi des entiers relatifs qui sont eux-même des nombres décimaux qui sont des nombres rationnels qui sont des nombres réels ;
Un même nombre admet plusieurs écritures différentes. Par exemple le nombre 2 peut aussi s’écrire : $2,0$ ou $\dfrac{2}{1}$ ou $\dfrac{4}{2}$ ou $\sqrt{4} \dots$ .

Irrationnalité de racine de 2

La racine carrée de 2 n’est pas un nombre rationnel.

L’arithmétique nous permet de démontrer que la racine de 2 ne peut être un nombre rationnel. Pour cela on utilise un raisonnement par l’absurde qui consiste à supposer le contraire de ce qu’on veut démontrer pour arriver à une contradiction qui permet alors d’affirmer que notre supposition était fausse et que son contraire est par conséquent vrai.

Supposons donc que $\sqrt{2}$ est un nombre rationnel. Alors il existe $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \mathbb{N}$ , tels que $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ . On suppose de plus que la fraction $\dfrac{p}{q}$ est irrationnelle, donc que $p$ et $q$ sont premiers entre eux.

Alors $(\sqrt{2})^2 = \left ( \dfrac{p}{q} \right )^2$ , soit $2 = \dfrac{p^2}{q^2}$ .

Donc $p^2 = 2q^2$ , ce qui implique que $p^2$ est un nombre pair, donc que $p$ est un nombre pair. Si $p$ était impair, alors une propriété précédente nous apprend que $p^2$ serait aussi impair, or nous savons que $p^2$ est pair.

Si $p$ est pair, il existe $k \in \mathbb{Z}$ , tel que $p = 2k$ , ce qui donne $p^2 = 4k^2$ .

On sait $p^2 = 2q^2$ donc $4k^2 = 2q^2$ , ce qui donne $2k^2 = q^2$ . Ce qui implique que $q^2$ est pair, donc que $q$ est pair.

Nous venons d’arriver à la conclusion que $p$ et $q$ sont pairs, donc divisibles par 2. Donc ils ne sont pas premiers entre eux. Or nous avions supposés qu’ils étaient premiers entre eux !

Nous aboutissons à une contradiction dans notre raisonnement. Notre supposition était fausse et le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel.

VI – Droite numérique

Définitions

Une droite graduée est une droite sur laquelle on fixe :

un point O appelé origine de la droite graduée ;
une unité.
Tout point d’une droite graduée peut être repéré par un nombre réel unique appelé son abscisse.

Exemple :

L’abscisse de l’origine O est le nombre 0.
Les points A, B et C ont pour abscisses respectives $4$ ; $-2,5$ et $4$ .
On note $A(-4) ; B(-2,5)$ et $C(4)$ .

VII – Intervalles

Définitions

Les intervalles de nombres réels sont des portions de la droite numérique. Il existe plusieurs types d’intervalles :

Soient deux réels $a$ et $b$ tels que $a < b$ .

L’intervalles des réels $x$ tels que	est noté	et est représenté sur la droite numérique par
$a<x<b$ $a$ et $b$ sont exclus de l’intervalle	$]a \: ; \: b[$
$a<x \le b$ $a$ est exclu de l’intervalle	$]a \: ; \: b]$
$x>a$ $a$ est exclu de l’intervalle	$]a \: ; \: + \infty[$
$x \le b$ $b$ est inclu dans l’intervalle	$]-\infty \: ; \: b]$

$+\infty$ se lit “plus l’infini”, c’est-à-dire vers les plus grands nombres. $-\infty$ se lit “moins l’infini”, c’est-à-dire vers les plus petits nombres.

VIII – Valeur absolue

Définition

La valeur absolue d’un nombre réel est sa distance à zéro. Soit $a \in \mathbb{R}$ , la valeur absolue de $a$ est notée $\vert a \vert$ .

Si $a > 0, \vert a \vert = a$

Si $a < 0, \vert a \vert = -a$

$\vert 0 \vert = 0$

Exemples :

$\vert 4 \vert = 4$ . C’est la distance OA.
$\vert \ -6 \vert = 6$ . C’est la distance OB.

Propriété

Deux réels opposés ont la même valeur absolue : soit $a \in \mathbb{R}$ , $\vert a \vert = \vert -a \vert$ .

Propriété

Pour tout nombre réel $a$ , $\vert a \vert ^2 = a^2$ .

Démonstration : Soit $a \in \mathbb{R}$

Si $a \ge 0$ alors $\vert a \vert = a$ , donc $\vert a \vert ^2 = a^2$ .

Si $a < 0$ alors $\vert a \vert = -a$ , donc $\vert a \vert ^2 = (-a)^2 = (-a) \times (-a) = a^2$ .

Propriété

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels, $\vert a - b \vert = \vert b - a \vert$ .

Démonstration : $b - a = -(a-b)$ . Donc $b-a$ et $a-b$ sont opposés. Alors ils ont la même valeur absolue.

Propriété

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels, abscisses respectives des point A et B. $\vert a - b \vert$ est la distance de A à B, notée AB.

Exemple : Soient les points $A(4)$ et $B(-6)$ .

$AB = AO + OB = 4 + 6 = 10$

$\vert 4 -(-6) \vert = \vert 10 \vert = 10$ ou

$\vert (-6)-4 \vert = \vert -10 \vert = 10$ .

Démonstration :

1^er cas : $0 < a < b$

Comme $b>a$ alors $b-a>0$ , donc $\vert b-a \vert = b-a$

$AB = OB - OA = b-a = \vert b-a \vert$ .

2^ème cas : $a < 0 < b$

Comme $b>a$ alors $b-a>0$ , donc $\vert b-a \vert = b-a$

$AB = AO + OB = (-a) + b = b-a = \vert b-a \vert$

3^ème cas : $a < b < 0$

Comme $b>a$ alors $b-a>0$ , donc $\vert b-a \vert = b-a$

$AB = AO - BO = (-a) - (-b) = -a + b = b-a = \vert b-a \vert$

Propriété

Soit $b \in \mathbb{R}$ tel que $b>0$ . Dire que $x \in [-b ; b]$ est équivalent à $\vert x \vert \le b$ .

La figure de droite décrit la situation de cette propriété :

2 points $B(b)$ et $B'(-b)$ sont symétriques par rapport à l’origine O et
un point $M(x)$ est situé entre B et B’.
La distance OM est nécessairement inférieur à OB, c’est-à-dire que $\vert x \vert < b$ .

Démonstration :

1^ère partie : Supposons que $x \in [-b ; b]$ , c’est-à-dire que $-b < x < b$ .

Cas n°1 : $x > 0$ alors $\vert x \vert = x$ . Si $x < b$ alors $\vert x \vert < b$

Cas n°2 : $x < 0$ alors $\vert x \vert = -x$ . Si $-b < x$ alors $b > -x$ . Donc $b > \vert x \vert$ .

2^ème partie (réciproque) : Supposons que $\vert x \vert < b$ .

Cas n°1 : $x > 0$ alors $\vert x \vert = x$ . Donc $x < b$ .

$b>0$ donc $-b < 0$ . Comme $x > 0$ , nécessairement $x > - b$ . On en conclut que $-b < x < b$ , c’est-à-dire que $x \in [-b ; b]$ .

Cas n°2 : $x < 0$ alors $\vert x \vert = -x$ , donc $-x < b$ , ce qui donne $x > -b$ .

Étant donné que $x<0$ et que $b>0$ , nécessairement $x < b$ . On en conclut que $-b < x < b$ , c’est-à-dire que $x \in [-b ; b]$ .

IX – Valeur approchée

Propriété

Soient $a \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{R}$ tel que $r>0$ . Dire que $x \in [a-r ; a+r]$ est équivalent à $\vert x - a \vert < r$ .

Exemple : $a = 3, r = 10^{-2}, x = 3,004$

$a-r = 2,99, a+r=3,01$ . On a bien $3,004 \in [2,99 ; 3,01]$ et
$x-a = 0,004 = \vert x-a \vert$ . On a bien $0,004 < 0,01$

Démonstration :

1^ère partie : Supposons que $x \in [a-r ; a+r]$ .

Cela signifie que $a-r < x < a+r$ , c’est-à-dire : $a-r < x$ et $x < a+r$ .

$a-r < x$ donne $-r < x-a$ . $x < a+r$ donne $x-a<r$ .

Donc nous avons obtenu : $-r < x-a < r$ . On en conclut que $\vert x - a \vert < r$ .

2^ème partie (réciproque) : Supposons que $\vert x - a \vert < r$ .

Cela signifie que $-r < x-a < r$ , c’est-à-dire : $-r < x-a$ et $x-a < r$ .

Si $-r < x-a$ alors $-r+a < x$ . Si $x-a < r$ alors $x < a+r$ .

On obtient donc $a-r < x < a+r$ , soit $x \in [a-r ; a+r]$ .

Définition

Soient $x \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{Z}$ . Le nombre $a$ est une valeur approchée de $x$ à $10^n$ près si et seulement si $\vert x - a \vert < 10^n$ .

Exemples :

La distance Terre-Lune est de 384 399 km. 384 000 km représente une valeur approchée de cette distance à $10^3$ près. Car $384 399 - 384 000 = 399$ et $399 < 10^3$ .

La valeur de $\pi$ qui intervient dans le calcul du périmètre d’un cercle est 3.141 592 653 59 … La valeur approchée de $\pi$ à $10^{-2}$ près est bien connue : $3,14$ .