Centres des cercles inscrits dans des triangles inscrits dans un cercle

Soit un cercle de centre O et [AB] une corde de ce cercle. Soit C un point de ce cercle. On construit le cercle inscrit dans le triangle ABC. Quand le point C décrit l’un des deux arcs de cercle délimité par la corde [AB], le centre du cercle inscrit dans ABC décrit un arc de cercle également délimité par la corde [AB].

Explications :

Posons \widehat{ACB} = \alpha. En vertu du théorème de l’angle inscrit, \alpha reste contant quand C parcourt l’arc de cercle AB.

Soit D le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. En vertu du théorème de l’angle au centre, \widehat{ADB} = 2 \alpha. Donc la mesure de l’angle \widehat{ADB} reste constante.

En appliquant la réciproque du théorème de l’angle inscrit, on en conclut que lorsque C parcourt l’arc AB, le point D décrit un autre arc de cercle d’extrémité [AB].

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