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Réciproque du théorème de l’angle inscrit

Étant donné un segment [AB], le lieux géométrique des points dont les droites joignant ces points aux extrémités de [AB] forment des angles de mesure constante \alpha, est un arc de cercle allant de A à B.

Explications :

Soit C un point tel que \widehat{BAC}=\alpha. Par trois points donnés, il passe un cercle unique qui est le cercle circonscrit au triangle ABC. Soient O le centre de ce cercle et r son rayon.

D’après le théorème de l’angle au centre, \widehat{BOA}=2 \alpha. Soit (OH) la médiatrice de [AB]. Le triangle OAB est isocèle en O donc (OH) est également la bissectrice de l’angle \widehat{BOA}.

\sin \alpha = \dfrac{AH}{AO} = \dfrac{AB}{2r}, ce qui donne r = \dfrac{AB}{2 \sin \alpha}.

Ainsi le rayon du cercle circonscrit ne dépend que de la longueur AB et de l’angle \alpha. Il ne dépend pas de la position du point C.

Soit D un autre point tel que \widehat{BAD}=\alpha. Alors, d’après ce qui précède, D appartient à un cercle de rayon r. Soit \Omega le centre de ce cercle. \Omega appartient à la médiatrice de [AB], c’est-à-dire (OH). Comme \Omega A = r, nécessairement, \Omega = O.

Ce qui démontre que C et D appartiennent à l’arc de cercle de centre O, de rayon r et d’extrémités A et B.