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Angles alternes internes et droites parallèles

Si deux droites forment avec une troisième droite des angles alternes-internes de même mesure, ces deux droites sont parallèles.

Explications :

Supposons que \alpha=\beta et que D1 et D2 soient sécantes en A. Les deux angles formés par \Delta et D1 en B sont opposés par le sommet donc de même mesure \alpha.

\widehat{ABE} est un angle externe pour le triangle ABC donc \beta<\alpha ce qui est impossible. Conclusion : D1 et D2 sont parallèles.

Remarque : Il s’agit des propositions I.27 et I.28 des Éléments d’Euclide.

RECIPROQUE

Les angles alternes-internes formés par deux droites parallèles avec une même troisième droite ont la même mesure.

Explications :

Cette démonstration s’appuie sur un fameux axiome d’Euclide énoncé au début du premier livre et que traduit la figure de droite : Si \beta+\gamma < \pi alors D1 et D2 ne sont pas parallèles.

Supposons que D1 et D2 soient parallèles et soit une droite \Delta formant avec elles des angles \alpha, \beta et \gamma.

Supposons par ailleurs que \alpha > \beta alors \alpha+\gamma > \beta+\gamma.

Comme \alpha+\gamma = \pi, il vient que \beta+\gamma < \pi. Donc en vertu de l’axiome précédemment rappelé, cela implique que D1 et D2 ne sont pas parallèles. Ce qui est impossible.

Donc \alpha = \beta. Et de manière évidente \delta = \beta

Remarque : Il s’agit de la proposition I.29 des Éléments d’Euclide.