Deux segments de même longueur

Étant donnés un segment et un point, comment construire un second segment à partir de ce point et ayant une longueur égale à celle du premier segment ?

Construction :

On souhaite dupliquer le segment [AB] en un segment dont l’une des extrémités est le point C.

1. On trace le triangle équilatéral ADC.
2. On trace le cercle de centre A et de rayon AB.
3. La droite (DA) coupe ce cercle au point E.
4. On trace le cercle de centre D et de rayon DE.
5. La droite (DC) coupe ce second cercle au point F. Le segment [CF] a la même longueur que [AB].

Explications :

(1) et .

Par construction les points E et F appartiennent au cercle de centre D et de rayon DE, donc .

De plus ADC est un triangle équilatéral donc .

De l’égalité (1) il vient donc que .

Comme E et B appartiennent au cercle de centre A et de rayon AB, on a donc  . Mais comme , on peut conclure que .

Remarque : Il s’agit de la proposition I.2 des Éléments d’Euclide.