Skip to content

Théorème des milieux

Étant donné un triangle quelconque, la droite reliant les milieux de deux côtés du triangle est parallèle à la droite portant le troisième côté. De plus la longueur du segment délimité par les deux milieux est la moitié de la longueur du troisième côté.

Soient un triangle ABC, D et E les milieux respectifs de [AB] et [AC]. Alors (DE) et (BC) sont parallèles et BC = 2 x DE.

Explications :

On démontre ce théorème en utilisant des propriétés des parallélogrammes. L’idée est de montrer que les droites (DE) et (BC) portent deux côtés opposés, donc parallèles, d’un parallélogramme. On va construire deux parallélogrammes particuliers qui vont nous permettre d’utiliser le fait que D et E sont les milieux des côtés AB et AC.

Première partie :

Soit F le symétrique de E par rapport à D. Alors D est par construction le milieu de [EF].

Mais D est aussi par hypothèse le milieu de [AB]. Par conséquent les deux diagonales du quadrilatère AFBE se coupent en leur milieu. On en conclut que AFBE est un parallélogramme.

Si AFBE est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Donc (FB) et (AE) sont parallèles et FB = AE.

Or par hypothèse E est le milieu de [AC] donc AE = EC. Mais puisque FB = AE, on peut affirmer que FB = EC.

Par ailleurs les points A, E et C sont par hypothèse alignés. SI (FB) et (AE) sont parallèles alors (FB) et (EC) sont parallèles.

Nous venons de montrer que (FB) et (EC) sont parallèles et que les longueurs FB et EC sont égales : on en conclut que le quadrilatère FBCE est un parallélogramme et qu’alors les droites (FE) et (BC) sont parallèles, c’est-à-dire que les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Deuxième partie :

Puisque D est le milieu de [FD], FD = DE, c’est-à-dire : FE = 2 x DE

Comme FBCE est un parallélogramme, FE = BC.

Conclusion : BC = 2 x DE.

Autre formulation du théorème des milieux : Étant donné un triangle quelconque ABC et D le milieu du segment [AB], la droite passant par D et parallèle à (BC) coupe le côté AC en son milieu.

Remarque : le théorème des milieux n’est qu’un cas particulier du théorème de Thalès.