Tangente au cercle à partir d’un point extérieur au cercle

Etant donnés un cercle de centre O et un point A n’appartenant pas à ce cercle, on construit la tangente passant par A ainsi :

  1. On place le point C milieu du segment [OA].
  2. On trace le cercle de centre C passant par A et donc aussi par O.
  3. Ce cercle coupe le cercle de centre O aux points D et E.
  4. Les droites (AD) et (AE) sont les deux tangentes recherchées.

Explications :

On considère le cercle de centre C et de diamètre OA. Ce diamètre est aussi l’hypoténuse des triangles inscrits OAD et OAE. Donc ces deux triangles sont rectangles en D et en E. Par conséquent (OD) et (DA) sont perpendiculaires ce qui permet de conclure que (AD) est tangente en D au cercle de centre O. Même conclusion pour (AE).

Construction proposée par Euclide :

On trace le cercle de centre O passant par A. La droite (OA) coupe le cercle en B.

On trace la tangente au cercle en B. Elle coupe le cercle en C.

La droite (OC) coupe le cercle en D. La droite (AD) est la tangente recherchée.

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