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Nombre d’or et triangle équilatéral

Étant donné un triangle équilatéral ABC, D et E les milieux respectifs des côtés [AC] et [CB], G et F les points d’intersection de la droite (DE) et du cercle circonscrit à ABC, on démontre que le quotient \dfrac{DE}{EF} est égal au nombre d’or.

Explications :

On calcule de deux manières différentes la puissance de E par rapport au cercle, ce qui donne l’équation : CE \times EB = GE \times EF (1)

On observe que :

  • CE = EB = \dfrac{AB}{2} = DE. Car ABC est équilatéral et en vertu du théorème des milieux appliqué au triangle ABC.
  • La construction étant symétrique, on a GD = EF.

Par conséquent l’équation (1) devient : DE^2 = (EF + DE) \times EF qui se transforme facilement en \left (\dfrac{DE}{EF} \right)^2 - \dfrac{DE}{EF} - 1 = 0. On reconnait l’équation x^2-x-1 = 0 dont la solution positive est le nombre d’or \phi.