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Médiatrice d’un segment

La médiatrice d’un segment est le lieu des points équidistants des deux extrémités des segments.

Explications :

La médiatrice du segment [AB] est la droite perpendiculaire à (AB) et passant par le milieu D de [AB].

Soit D un point de cette médiatrice. La droite de (CD) est donc cette médiatrice et les triangles CAD et CDB sont rectangle en D.

Donc AC^2 = AD^2 + DC^2 et BC^2 = BD^2 + DC^2. Comme D est le milieu de [AB], il vient que AD = DB. Donc AC^2 = BC^2, soit AC = BC ce qui achève de démontrer que C est équidistant des points A et B.

Réciproque : Si un point C est équidistant de A et de B alors il appartient à la médiatrice du segment [AB].

Supposons que C n’appartient pas à la médiatrice de [AB] et soit D le milieu de [AB]. Compte tenu de toutes ces hypothèses, les triangles CAD et CDB sont isométriques. Ainsi \widehat{CDA}=\widehat{BDC} ce qui n’est manifestement pas le cas.

Donc C appartient à la médiatrice de [AB].