Lieu des points dont les distances à deux points donnés sont dans un rapport constant

Étant donnés deux points A et B et un réel k > 0, le lieu des points M tels que \dfrac{MA}{MB}=k est un cercle.

Soit M l’un des points recherchés. Alors \dfrac{MA}{MB}=k On trace les deux bissectrices de l’angle \widehat{AMD}. Elles coupent la droite (AB) en C et D. On trace la droite parallèle à (AM) passant par B. Celle-ci coupe les bissectrices en E et F.
(AM) et (EF) sont parallèles donc la sécante (EM) crée deux angles \widehat{BEM} et \widehat{AME} de même mesure. Comme \widehat{EMB} a aussi la même mesure, il vient que BEM est un triangle isocèle en B et que BE = BM. \widehat{MFE} = \dfrac{\pi}{2}-\widehat{FEM} = \dfrac{\pi}{2}-\widehat{EMB} = \widehat{BMF}.  Alors BFM est un triangle isocèle en B donc BM = FB, d’où FB = BE.

On note que \dfrac{MA}{BE} = \dfrac{MA}{MB} = k.

Le théorème de Thales sur ACEBM : \dfrac{BE}{MA} = \dfrac{CA}{CB} =k.

Le théorème de Thales sur ADM : \dfrac{FB}{MA} = \dfrac{DA}{DB}.

Comme FB = BE, on en conclut que \dfrac{DA}{DB} = \dfrac{CA}{CB} = k

Donc les positions des points C et D ne dépendent que des points A et B et de la valeur de k. Elles ne dépendent pas du point M. Par ailleurs \widehat{CMD} est par construction un angle droit.

Conclusion : les points M recherchés voient un segment donné [CB] sous un angle de mesure constante \dfrac{\pi}{2}. Le lieu recherché est le cercle de diamètre [CD] passant par C et D.

Voir aussi : Bissectrices et division harmonique

Print Friendly, PDF & Email