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Les triangles

I – Inégalité triangulaire

Nous connaissons l’affirmation « Le plus court chemin reliant deux points est la ligne droite. » Celle-ci est une conséquence d’une propriété fondamentale des triangles, l’inégalité triangulaire.

Propriété
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

  • AB < AC + CB
  • AC < AB + BC
  • BC < BA + BC

Propriété
Si le point B appartient au segment [AC] alors l’inégalité devient une égalité : AC = AB + BC.

Si trois points A, B et C sont tels que AC = AB + BC alors B appartient au segment [AC], c’est-à-dire que les points A, B et C sont alignés.

II – Somme des angles

Propriété
Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°

Démonstration : Soit un triangle ABC et ses trois angles \alpha, \beta et \gamma. On va démontrer que \alpha + \beta + \gamma = 180°.

Traçons la droite (DE), parallèle à la droite (AC) et passant par B. On utilise alors la propriété des angles alternes-internes :

Si deux angles alternes-internes sont déterminés par des droites parallèles, alors ils ont la même mesure.

Donc, on en déduit que :

  • \widehat{CAB} = \widehat{DBA} = \alpha
  • \widehat{BCA} = \widehat{CBE} = \gamma

Comme les points D, B et E sont lignés, l’angle \widehat{EBD} = 180.

Mais \widehat{EBD} = \widehat{CBE} + \widehat{CBA} + \widehat{DBA}.

Conclusion \alpha + \beta + \gamma = 180°.

III – Construction d’un triangle

1) connaissant les longueurs de ses trois côtés

Exemple : On veut construire un triangle KLM tel que KL = 6 cm, LM = 5 cm et KM = 4,5 cm.

On trace un segment [KL] de longueur 6 cm. Le point M est à 5 cm du point L : il appartient donc au cercle de centre L et de rayon 5 cm. Le point M est à 4,5 cm du point K : il appartient donc au cercle de centre K et de rayon 4,5 cm. Le point M est le point d’intersection des deux arcs.

2) Connaissant la longueur d’un côté et la mesure de deux angles ayant ce côté en commun

Exemple : On veut construire un triangle KLM tel que KL = 6 cm, l’angle \widehat{LKM} = 40° et l’angle \widehat{KLM}= 60°.

On trace un segment [KL] de longueur 6 cm. On trace une demi-droite de sommet K et faisant un angle de 40° avec (KL). On trace une demi-droite de sommet L et faisant un angle de 60° avec (KL).

L’intersection des demi-droites est le point M, troisième sommet du triangle.

3) Connaissant les longueurs de deux côtés et la mesure de l’angle délimité par ses deux côtés

Exemple : On veut construire un triangle KLM tel que KL = 6 cm, KM = 4,5 cm et l’angle \widehat{LKM} = 80$°.

On trace un segment [KL] de longueur 6 cm. On trace une demi-droite de sommet K et faisant un angle de 80° avec (KL). On trace un cercle de centre K et de rayon 4,5 cm.

L’intersection du cercle et de la demi-droite est le point M, troisième sommet du triangle.

IV – Hauteurs d’un triangle

Définition
Une hauteur d’un triangle est la droite qui passe par un des sommets du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. 

Un triangle possède trois hauteurs, chacune passant par un de ses trois sommets.

Exemples :