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Les parallélogrammes

I – Définition et propriétés

Définition
Un polygone est une figure plane fermée par des segments de droites.

Étymologie grecque : 

  • polus : nombreux
  • gônia : angle
Définition
Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés.

Étymologie latine :

  • quatuor : quatre
  • latus : côté
Vocabulaire
Un quadrilatère a quatre sommets, quatre côtés et deux diagonales.

Exemple :

  • EFGH est un quadrilatère.
  • Le sommet opposé au sommet E est le sommet G.
  • Un côté consécutif au côté [FG] est le côté [EF] ou le côté [GH].
  • Ses diagonales sont les segments [EG] et [HF].
Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Exemple :

  • Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
  • Les droites (AD) et (BC) sont parallèles.
  • Donc ABCD est un parallélogramme.

 

Propriété
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Ce milieu est le centre de symétrie du parallélogramme.

Exemple : Soit un parallélogramme ABCD.

  • Ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu E.
  • E est le centre de symétrie de ABCD.
  • [AB] et [CD] sont symétriques par rapport à E.
  • [AD] et [BC] sont symétriques par rapport à E.

 

Propriété
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors :

  • les côtés opposés ont la même longueur.
  • les angles opposés ont la même mesure.

Exemple : Soit le parallélogramme ABCD.

  • On sait que les côtés opposés sont symétriques par rapport au milieu des diagonales. Donc ils ont la même longueur.
  • On sait aussi qu’une symétrie centrale concerne les mesures d’angles. Donc les angles \widehat{ADC} et \widehat{ABC} ont la même mesure, ainsi que les angles \widehat{DAB} et \widehat{DCB}.

II – Savoir reconnaître un parallélogramme

Pour démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, on peut revenir à la définition du parallélogramme. Sinon, on peut utiliser l’une des propriétés suivantes sur les quadrilatères.

Propriété
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c’est parallélogramme.

Exemple : Soit ABCD un quadrilatère.

Si on sait que les diagonales [AC] et [BD] de ce quadrilatère se coupent en leur milieu E, alors ABCD est un parallélogramme.

 

Propriété
Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c’est parallélogramme.

Exemple : Soit ABCD un quadrilatère.

Si on sait que :

  • les droites (AB) et (CD) sont parallèles ;
  • les longueurs AB et CD sont égales ;
  • les côtés [AB] et [CD] ne se croisent pas ;

Alors ABCD est un parallélogramme.

Propriété
Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur, alors c’est parallélogramme.

Exemple :

Soit ABCD un quadrilatère.

Si on sait que :

  • les longueurs AB et CD sont égales ;
  • les longueurs AD et BC sont égales ;
  • les côtés [AB] et [CD] ne se croisent pas ;

Alors ABCD est un parallélogramme.

III – Losange

Définition
Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur.

Exemple : On veut construire un losange ABCD tel que AB = 6 cm (un côté) et BD = 4,2  cm (une des deux diagonales).

On trace un segment [BD] de longueur 4,2 cm. On construit un triangle ABD isocèle en A tell que AB = AD = 6 cm. On construit le triangle CBD isocèle en C tell que CB = CD = 6 cm.

 

Propriété
Un losange est un parallélogramme.

Un rectangle possède donc toutes les propriétés d’un parallélogramme.

Démonstration : Par définition, un losange possède quatre côtés de même longueur, donc ses côtés opposés sont de même longueur. Comme ce n’est pas un quadrilatère croisé, on en déduit que c’est un parallélogramme.

Propriété
Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires.

Démonstration : Soit ABCD est losange et E le milieu des deux diagonales. Nous allons démontrer que la droite (AC) est la médiatrice du segment [BD].

  • Puisque AD = AB, le point A appartient à la médiatrice du segment [BD].
  • Comme E est le milieu du segment [BD], il vient que la droite (AE) est la médiatrice du segment [BD]. Ce qui prouve que les droites (AE) et (BD) sont perpendiculaires.
  • Par ailleurs E est aussi le milieu du segment [AC], donc la droite (AE) et la droite (AC) sont confondues.
  • Finalement il vient que les droites (AC) et (BD), c’est-à-dire, les deux diagonales du losange, sont perpendiculaires.

Savoir reconnaître un losange

Propriété
Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs de même longueur, c’est un losange.

Démonstration : Soit un parallélogramme ABCD tel que AD = DC.

  • ABCD est un parallélogramme donc ses côtés opposés ont la même longueur.
  • Ainsi AD = BC et DC = AB. Mais comme AD = DC, on en déduit que les quatre côtés ont la même longueur.
Propriété
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, c’est un losange.

Démonstration : Soit un parallélogramme ABCD tel que ses diagonales (AC) et (DC) soient perpendiculaires.

  • Le point E est la milieu du segment [BD].
  • La droite (AC), qui passe par E, est perpendiculaire à (BD).
  • Donc la droite (AC) est la médiatrice du segment [BD].
  • Le point A appartient évidemment à la médiatrice (AC),
  • Rappel d’une propriété : « tout point de la médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment« .
  • Conclusion : les distances AD et AB sont égales.
  • Donc ABCD est un parallélogramme qui possède deux côtés consécutifs de même longueur. Alors c’est un losange.

IV – Rectangle

Définition
Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits.

Étymologie latine :

  • rectus : droit
  • angulus : angle

Propriété
Un rectangle est un parallélogramme.

Un rectangle possède donc toutes les propriétés d’un parallélogramme.

Démonstration : Soit le rectangle ABCD de la figure ci-dessus.

Ses quatre angles sont droits donc :

  • les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
  • les droites (AB) et (AD) sont perpendiculaires.
  • rappel d’une propriété : « Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, elles sont parallèles entre elles.« 
  • donc (BC) et (AD) sont parallèles.
  • les droites (BC) et (AB) sont perpendiculaires.
  • les droites (BC) et (DC) sont perpendiculaires.
  • donc (AB) et (DC) sont parallèles.

Conclusion : ABCD est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. Alors c’est un parallélogramme.

Propriété
Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont la même longueur.

Exemple :

Si ABCD est un rectangle dont les diagonales se coupent au point E, alors :

  • EA = EB = EC = ED
  • AC =BD

Savoir reconnaître un rectangle

Propriété
Si un quadrilatère possède trois angles droits, c’est un rectangle.

Démonstration :
Soit ABCD est quadrilatères possédant trois angles droits. On va démontrer que le quatrième angle \widehat{CDA} est alors nécessairement droit.

  • Nous savons que les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires et que les droites (DC) et (BC) sont perpendiculaires.
  • rappel d’une propriété : « Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, elles sont parallèles entre elles.« 
  • donc (DC) et (AB) sont parallèles.
  • Nous savons que les droites (AD) et (AB) sont perpendiculaires et nous venons de démontrer que les droites (AB) et (DC) sont parallèles
  • rappel d’une propriété : « Si deux droites sont parallèles et qu’une des deux est perpendiculaire à une troisième droite, alors la seconde est aussi perpendiculaire à cette troisième droite. »
  • donc (AD) et (DC) sont perpendiculaires. Ce qui permet de conclure que l’angle \widehat{CDA} est droit, donc que ABCD possède quatre angles droits. Par conséquent, c’est un rectangle.
Propriété
Si un parallélogramme possède un angle droit, c’est un rectangle.

Démonstration : Soit un parallélogramme ABCD tel que l’angle \widehat{BAD} soit droit.

  • Puisque ABCD est un parallélogramme, le point d’intersection de ses diagonales est son centre de symétrie.
  • rappel d’une propriété : « une symétrie centrale conserve les mesures d’angles« .
  • on peut en conclure que l’angle \widehat{BCD} est droit.
  • les droites (AD) et (BC) sont parallèles et que la droite (AB) est perpendiculaire à la droite ((BC).
  • rappel d’une propriété : « Si deux droites sont parallèles et qu’une des deux est perpendiculaire à une troisième droite, alors la seconde est aussi perpendiculaire à cette troisième droite. »
  • on peut en conclure que les droites (AB) et (BC) sont perpendiculaires, donc que l’angle \widehat{ABC} est droit.
  • Par la symétrie de centre E, il vient que \widehat{CDA} est aussi droit.
  • Conclusion : ABCD est un rectangle.
Propriété
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, c’est un rectangle.

Démonstration : Soit ABCD un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur. On va démontrer qu’il possède un angle droit.

  • Nous savons que les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Si, en plus, AC = BD, alors EA = EB = EC = ED.
  • Si EA = EB alors le triangle EAB est isocèle en E et les angles \widehat{BAE} et \widehat{ABE} sont de même mesure \alpha.
  • Si EC = EB alors le triangle BEC est isocèle en E et les angles \widehat{CBE} et \widehat{ECB} sont de même mesure \beta.
  • Considérons maintenant le triangle ABC. Nous savons que la somme des mesures des trois angles d’un triangle est égale à 180°.
  • Donc (\alpha + \beta) + (\alpha + \beta) = 180.
  • Ce qui donne \alpha + \beta = 90. Par conséquent l’angle \widehat{ABC}. est droit.
  • Ainsi ABCD est un parallélogramme qui possède un angle droit, c’est donc un rectangle.

3) Carré

Définition
Un carré est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur et ses quatre angles droits.

Un carré est à la fois un rectangle et un losange.

Un carré possède donc toutes les propriétés d’un losange et d’un rectangle.