Géométrie dans l’espace (Exercices corrigés)

Exercice n°2 page 140

Une pyramide régulière a pour base un carré de côté 5 cm et pour hauteur 6 cm.

a) Donne les longueurs BC et CH :

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BC est un côté de la base donc BC = 5 cm et SH est la hauteur, donc SH = 6 cm.

b) Combien ce solide possède-t-il d’arêtes ? De faces ? De sommets :

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8 arêtes dont 4 latérales, 5 faces dont 4 latérales, 5 sommets dont 4 qui appartiennent à la base.

c) Indique toutes les égalités de longueurs :

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La base est carrée donc AB = BC = CD = DA et AC = DB. À partir du sommet on a : SA = SB = SC = SD.

d) Donne l’aire de la face ABCD :

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c’est l’aire d’un carré de côté 5 cm, ce qui donne 25 cm²

e) Donne le volume de cette pyramide :

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$\dfrac{base \times hauteur}{3} = \dfrac{25 \times 6}{3} = 50$ cm³.

Exercice n°4 page 140

a) De quel solide a-t-on commencé le patron ?

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Une pyramide régulière dont la base est un hexagone régulier.

b) Combien ce solide possède-t-il d’arêtes ? de faces ? de sommets ?

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Il possède :

12 : 6 arêtes latérales et 6 arêtes qui sont les côtés de la base hexagonale.
7 : 6 faces latérales plus la base.
7 : 1 sommet de la pyramide et les 6 sommets de la base hexagonale.

c) Que faut-il construire pour terminer ce patron ?

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5 faces latérales en forme de triangle isocèle de côtés mesurant 5, 5 et 3 unités.

Ci-contre un exemple du patron complet.

Exercice n°10 page 141

Recopie et complète le tableau ci-dessous.

Exercice n°16 page 142

Parmi les 4 figures, quels sont les patrons d’une pyramide à base carrée.

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Seule la figure a. est un patron de pyramide carrée.

Les faces latérales triangulaires des figures b. et c. ne sont pas assez grandes pour que la pyramide se referme. Les faces triangulaires de la figure d. ne sont pas isocèles.

Exercice n°18 page 142

ABCD est une pyramide dont la base est un triangle rectangle isocèle en C tel que AB = 2,5 cm et BC = 3 cm. Construis un patron de cette pyramide.

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On trace le triangle rectangle isocèle BCD qui est la base de la pyramide ;
On prolonge le segment [BC] du côté de C ;
On trace la perpendiculaire à la droite (BC) passant par B ;
On trace le cercle de centre C passant par B. Il coupe la perpendiculaire au point A et la droite (BC) au point A’;
On trace les faces latérales ABC et A’CD ;
On trace la perpendiculaire à la droite (BD) passant par B ;
On trace le cercle de centre B passant par A. Il coupe la perpendiculaire au point $A"$ ;
On trace la face latérale $A"BD$ .

Exercice n°21 page 143

On considère le cône de révolution ci-contre tel que $OB = 6$ cm et $SB = 10$ cm.

a) Calculer la hauteur $SO$ du cône.

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Le théorème de pythagorean appliqué au triangle rectangle SOB donne l’égalité : $SB^2 = SO^2 + OB^2$ .

Donc $SO^2 = SB^2 - OB^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 = 8^2$ .

Par conséquent $SO = 8$ cm.

b) Calculer l’angle $\widehat{OSB}$

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$\cos{\widehat{OSB}} = \frac{SO}{SB} = \dfrac{8}{10} = 0,8$ .

Par conséquent $\cos^{-1} 0,8 = 37^o$ environ.

c) Soit M un point de la génératrice (SB) tel que $SM = 4$ cm. On trace une droite parallèle à (OB) passant par M. Elle coupe (SO) en H. Montrer que (SO) et (HM) sont perpendiculaires.

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(HM) est parallèle (OB). or (OB) est perpendiculaire à (OS). Donc (HM) est perpendiculaire à (OS).

d) Calculer HM et SH.

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On sait que les droites (HM) et (OB) sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thales au triangle SOB.

Ainsi $\dfrac{HM}{OB} = \dfrac{SM}{SB}$ , soit $\dfrac{HM}{6} = \dfrac{4}{10}$ . Donc $HM = \dfrac{4 \times 6}{10} = 2,4$ cm.

De même $\dfrac{SH}{SO} = \dfrac{SM}{SB}$ , soit $\dfrac{SH}{8} = \dfrac{4}{10}$ . Donc $SH = \dfrac{4 \times 8}{10} = 3,2$ cm.

Exercice n°26 page 144

Pour construire la pyramide de Khéops, les Égyptiens ont utilisé environ 2 643 000 m³ de pierres. La hauteur de la pyramide est de 146 m. Calcule le côté du carré constituant la base de la pyramide. Arrondis ton résultat au mètre.

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Le volume de la pyramide est $V = 2 643 000$ m3. La formule donnant le volume d’une pyramide est $V = \dfrac{B \times h}{3}$ où B est l’aire de la base et h la hauteur.

En multipliant par 3 chaque membre de l’égalité précédente, on obtient : $3V = B \times h$ .

En divisant par $h$ chaque membre de l’égalité précédente, il vient : $\dfrac{3V}{h} = B$ . Donc $B = \dfrac{3 \times 2 643 000}{146} = 54 308$ m².

Puisque la base est un carré, le côté s’obtient en prenant la racine carré de B, soit $\sqrt{54 308} = 233$ m.

Exercice n°30 page 144

ACDHG est une pyramide inscrite dans un cube de côté 4 cm.

a) Calcule le volume de cette pyramide arrondi au cm³.

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Le volume de la pyramide est le tiers de celui du cube dans lequel elle est inscrite, soit $\dfrac{4^3}{3} = 21$ cm³.

b) Calcule les longueurs AH, DG et AG, arrondies au mm.

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[AH] est l’hypoténuse du triangle ADH rectangle en D. Donc on applique le théorème de Pythagore : $AH^2 = AD^2 + DH^2 = 4^2 + 4^2 = 32$ . Ce qui donne $AH = \sqrt{32} = 5,7$ cm.

[DG] est l’hypoténuse du triangle DHG rectangle en H. Tous ces calculs se fond dans un cube dont les faces sont des carrés identiques. Donc $DG = AH = 5,7$ cm.

[AG] est l’hypoténuse du triangle ADG rectangle en D. Donc $AG^2 = AD^2 + DG^2 = 4^2 + 32 = 48$ . Ce qui donne $AG = \sqrt{48} = 6,9$ cm.

c) Détermine la mesure de l’angle $\widehat{AHD}$ .

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Toutes les faces du cube sont des carrés. Donc EHDA est un carré. La diagonale [AH] de ce carré est aussi la bissectrice de l’angle $\widehat{EHD}$ qui est un angle droit. Alors $\widehat{AHD} = \dfrac{90}{2} = 45°$ .

d) Construis un patron de cette pyramide.

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On trace un carré DHGC de 4 cm de côté ;
On prolonge le segment [DC ]de 4 cm vers la gauche et on place le point A ;
On trace le segment [AH] ;
On trace le cercle de centre H passant par A. On prolonge la droite (DH) vers le bas.
Le cercle coupe la droite (DH) au point A’ ;
On trace le cercle de centre G passant par A’ et le cercle de centre C passant par H ;
Ces deux cercles se coupent au point $A"$ ;
On complète le patron avec les segments $[A'G], [GA'']$ et $[CA"]$ .

Exercice supplémentaire n°1

ABCDEFGH est un cube de côté 8 cm.

Calculer le volume exact de IJDHK.

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$DJ = \dfrac{DC}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$ cm. $DH = 8$ cm. Donc la base de la pyramide a comme aire $DH \times DJ = 8 \times 4 = 32$ cm².

La hauteur de la pyramide est $IJ = 8$ cm. Donc le volume de la pyramide est $\dfrac{base \times hauteur}{3} = \dfrac{32 \times 8}{3} = 85$ cm³environ.

Exercice supplémentaire n°2

LMNOPQRS est un pavé droit tel que LM = 5 cm, LO = 5,6 cm et LP = 8,6 cm.

Calculer le volume exact de ORST.

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D’apès le codage de la figure, on lit que $TS = \dfrac{PS}{2} = \dfrac{LO}{2} = \dfrac{5,6}{2} = 2,8$ cm. $SR = LM = 5$ cm. Par conséquent l’aide de la base de la pyramide ORST est $\dfrac{TS \times SR}{2} =\dfrac{2,8 \times 5}{2} = 7$ cm².

La hauteur de la pyramide est $OS = LP = 8,6$ cm. Par conséquent le volume de la pyramide ORST est $\dfrac{base \times hauteur}{3} = \dfrac{7 \times 8,6}{3} = 20$ cm³environ.

Exercice supplémentaire n°3

Voici un solide composé d’un cube et d’une pyramide dont la hauteur est la même que celle du cube. Calculer son volume exact.

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Le cube et la pyramide ont la même hauteur et la même base. Donc la pyramide est inscrite dans le cube. Par conséquent la pyramide a un volume égal au tiers de celui du cube.

Le volume du cube est : $5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$ cm³. Donc le volume de la pyramide est de $\dfrac{125}{3} = 42$ cm³ environ.

Ainsi le solide dans son ensemble aura un volume de $125 + 42 = 167$ cm³ environ.

Exercice supplémentaire n°4

Voici un cylindre contenant un cône de révolution. Quel est le volume du solide dont on a retiré le cône ?

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Le volume du cône est : $\dfrac{\pi \times 3^2 \times 7}{3} = \pi \times 3 \times 7 = 21\pi$ cm³.

Le volume du cylindre est : $\pi \times 3^2 \times 7 = 63\pi$ cm³. On vérifie ainsi que le cylindre contenant le cône a un volume trois fois supérieur à celui du cône.