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Géométrie dans l’espace (Exercices corrigés)

Exercice n°2 page 140

Une pyramide régulière a pour base un carré de côté 5 cm et pour hauteur 6 cm.

a) Donne les longueurs BC et CH :

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BC est un côté de la base donc BC = 5 cm et SH est la hauteur, donc SH = 6 cm.

b) Combien ce solide possède-t-il d’arêtes ? De faces ? De sommets :

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8 arêtes dont 4 latérales, 5 faces dont 4 latérales, 5 sommets dont 4 qui appartiennent à la base.

c) Indique toutes les égalités de longueurs :

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La base est carrée donc AB = BC = CD = DA et AC = DB. À partir du sommet on a : SA = SB = SC = SD.

d) Donne l’aire de la face ABCD :

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c’est l’aire d’un carré de côté 5 cm, ce qui donne 25 cm2
.

e) Donne le volume de cette pyramide :

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\dfrac{base \times hauteur}{3} = \dfrac{25 \times 6}{3} = 50 cm3.

Exercice n°4 page 140

a) De quel solide a-t-on commencé le patron ?

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Une pyramide régulière dont la base est un hexagone régulier.

b) Combien ce solide possède-t-il d’arêtes ? de faces ? de sommets ?

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Il possède :

  • 12 : 6 arêtes latérales et 6 arêtes qui sont les côtés de la base hexagonale.
  • 7 : 6 faces latérales plus la base.
  • 7 : 1 sommet de la pyramide et les 6 sommets de la base hexagonale.

c) Que faut-il construire pour terminer ce patron ?

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5 faces latérales en forme de triangle isocèle de côtés mesurant 5, 5 et 3 unités.

Ci-contre un exemple du patron complet.

Exercice n°10 page 141

Recopie et complète le tableau ci-dessous.

Exercice n°16 page 142

Parmi les 4 figures, quels sont les patrons d’une pyramide à base carrée.

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Seule la figure a. est un patron de pyramide carrée.

Les faces latérales triangulaires des figures b. et c. ne sont pas assez grandes pour que la pyramide se referme. Les faces triangulaires de la figure d. ne sont pas isocèles.

Exercice n°18 page 142

ABCD est une pyramide dont la base est un triangle rectangle isocèle en C tel que AB = 2,5 cm et BC = 3 cm. Construis un patron de cette pyramide.

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  • On trace le triangle rectangle isocèle BCD qui est la base de la pyramide ;
  • On prolonge le segment [BC] du côté de C ;
  • On trace la perpendiculaire à la droite (BC) passant par B ;
  • On trace le cercle de centre C passant par B. Il coupe la perpendiculaire au point A et la droite (BC) au point A’;
  • On trace les faces latérales ABC et A’CD ;
  • On trace la perpendiculaire à la droite (BD) passant par B ;
  • On trace le cercle de centre B passant par A. Il coupe la perpendiculaire au point A" ;
  • On trace la face latérale A"BD.

Exercice n°21 page 143

On considère le cône de révolution ci-contre tel que OB = 6 cm et SB = 10 cm.

a) Calculer la hauteur SO du cône.

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Le théorème de pythagorean appliqué au triangle rectangle SOB donne l’égalité : SB^2 = SO^2 + OB^2.

Donc SO^2 = SB^2 - OB^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64 = 8^2.

Par conséquent SO = 8 cm.

b) Calculer l’angle \widehat{OSB}

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\cos{\widehat{OSB}} = \frac{SO}{SB} = \dfrac{8}{10} = 0,8.

Par conséquent \cos^{-1} 0,8 = 37^o environ.

c) Soit M un point de la génératrice (SB) tel que SM = 4 cm. On trace une droite parallèle à (OB) passant par M. Elle coupe (SO) en H. Montrer que (SO) et (HM) sont perpendiculaires.

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(HM) est parallèle (OB). or (OB) est perpendiculaire à (OS). Donc (HM) est perpendiculaire à (OS).

d) Calculer HM et SH.

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On sait que les droites (HM) et (OB) sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thales au triangle SOB.

Ainsi \dfrac{HM}{OB} = \dfrac{SM}{SB}, soit \dfrac{HM}{6} = \dfrac{4}{10}. Donc HM = \dfrac{4 \times 6}{10} = 2,4 cm.

De même \dfrac{SH}{SO} = \dfrac{SM}{SB}, soit \dfrac{SH}{8} = \dfrac{4}{10}. Donc SH = \dfrac{4 \times 8}{10} = 3,2 cm.

Exercice n°26 page 144

Pour construire la pyramide de Khéops, les Égyptiens ont utilisé environ 2 643 000 m3 de pierres. La hauteur de la pyramide est de 146 m. Calcule le côté du carré constituant la base de la pyramide. Arrondis ton résultat au mètre.

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Le volume de la pyramide est V = 2 643 000 m3. La formule donnant le volume d’une pyramide est V = \dfrac{B \times h}{3} où B est l’aire de la base et h la hauteur.

En multipliant par 3 chaque membre de l’égalité précédente, on obtient : 3V = B \times h.

En divisant par h chaque membre de l’égalité précédente, il vient : \dfrac{3V}{h} = B. Donc B = \dfrac{3 \times 2 643 000}{146} = 54 308 m2.

Puisque la base est un carré, le côté s’obtient en prenant la racine carré de B, soit \sqrt{54 308} = 233 m.

Exercice n°30 page 144

ACDHG est une pyramide inscrite dans un cube de côté 4 cm.

a) Calcule le volume de cette pyramide arrondi au cm3.

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Le volume de la pyramide est le tiers de celui du cube dans lequel elle est inscrite, soit \dfrac{4^3}{3} = 21 cm3.

b) Calcule les longueurs AH, DG et AG, arrondies au mm.

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[AH] est l’hypoténuse du triangle ADH rectangle en D. Donc on applique le théorème de Pythagore : AH^2 = AD^2 + DH^2 = 4^2 + 4^2 = 32. Ce qui donne AH = \sqrt{32} = 5,7 cm.

[DG] est l’hypoténuse du triangle DHG rectangle en H. Tous ces calculs se fond dans un cube dont les faces sont des carrés identiques. Donc DG = AH = 5,7 cm.

[AG] est l’hypoténuse du triangle ADG rectangle en D. Donc AG^2 = AD^2 + DG^2 = 4^2 + 32 = 48. Ce qui donne AG = \sqrt{48} = 6,9 cm.

c) Détermine la mesure de l’angle \widehat{AHD}.

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Toutes les faces du cube sont des carrés. Donc EHDA est un carré. La diagonale [AH] de ce carré est aussi la bissectrice de l’angle \widehat{EHD} qui est un angle droit. Alors \widehat{AHD} = \dfrac{90}{2} = 45°.

d) Construis un patron de cette pyramide.

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  • On trace un carré DHGC de 4 cm de côté ;
  • On prolonge le segment [DC ]de 4 cm vers la gauche et on place le point A ;
  • On trace le segment [AH] ;
  • On trace le cercle de centre H passant par A. On prolonge la droite (DH) vers le bas.
  • Le cercle coupe la droite (DH) au point A’ ;
  • On trace le cercle de centre G passant par A’ et le cercle de centre C passant par H ;
  • Ces deux cercles se coupent au point A" ;
  • On complète le patron avec les segments [A'G], [GA''] et [CA"].

Exercice supplémentaire n°1

ABCDEFGH est un cube de côté 8 cm.

Calculer le volume exact de IJDHK.

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DJ = \dfrac{DC}{2} = \dfrac{8}{2} = 4 cm. DH = 8 cm. Donc la base de la pyramide a comme aire DH \times DJ = 8 \times 4 = 32 cm2.

La hauteur de la pyramide est IJ = 8 cm. Donc le volume de la pyramide est \dfrac{base \times hauteur}{3} = \dfrac{32 \times 8}{3} = 85 cm3 environ.

Exercice supplémentaire n°2

LMNOPQRS est un pavé droit tel que LM = 5 cm, LO = 5,6 cm et LP = 8,6 cm.

Calculer le volume exact de ORST.

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D’apès le codage de la figure, on lit que TS = \dfrac{PS}{2} = \dfrac{LO}{2} = \dfrac{5,6}{2} = 2,8 cm. SR = LM = 5 cm. Par conséquent l’aide de la base de la pyramide ORST est \dfrac{TS \times SR}{2} =\dfrac{2,8 \times 5}{2} = 7 cm2.

La hauteur de la pyramide est OS = LP = 8,6 cm. Par conséquent le volume de la pyramide ORST est \dfrac{base \times hauteur}{3} = \dfrac{7 \times 8,6}{3} = 20 cm3 environ.

Exercice supplémentaire n°3

Voici un solide composé d’un cube et d’une pyramide dont la hauteur est la même que celle du cube. Calculer son volume exact.

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Le cube et la pyramide ont la même hauteur et la même base. Donc la pyramide est inscrite dans le cube. Par conséquent la pyramide a un volume égal au tiers de celui du cube.

Le volume du cube est : 5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125 cm3. Donc le volume de la pyramide est de \dfrac{125}{3} = 42 cm3 environ.

Ainsi le solide dans son ensemble aura un volume de 125 + 42 = 167 cm3 environ.

Exercice supplémentaire n°4

Voici un cylindre contenant un cône de révolution. Quel est le volume du solide dont on a retiré le cône ?

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Le volume du cône est : \dfrac{\pi \times 3^2 \times 7}{3} = \pi \times 3 \times 7 = 21\pi cm3.

Le volume du cylindre est : \pi \times 3^2 \times 7 = 63\pi cm3. On vérifie ainsi que le cylindre contenant le cône a un volume trois fois supérieur à celui du cône.

Si on retire le volume du cône du volume du cylindre, on obtient 63\pi - 21\pi = 42\pi cm3.

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