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Division harmonique

Étant donné un segment [AB] et un nombre réel k positif et différent de 1, il existe deux point C et G tels que \dfrac{GA}{GB} = \dfrac{CA}{CB} = k.

Construction :

  • On trace une droite passant par A;
  • On place sur cette droite un point D.
  • On trace une droite parallèle à (AD) passant par B
  • On place sur cette droite un point E tel que \dfrac{DA}{EB} = k.
  • La droite (ED) coupe la droite (AB) au point C.
  • On place le point F symétrique du point E par rapport à B.
  • La droite (DF) coupe la droite (AB) en G.

Explications :

(AD) et (BE) sont parallèles.

On utilise le théorème de Thalès dans ADC : \dfrac{CA}{CB} = \dfrac{DA}{EB} = k. Ainsi C est l’un des deux points recherchés.

On utilise le théorème de Thalès dans ADFB : \dfrac{GA}{GB} = \dfrac{DA}{FB} = \dfrac{DA}{EB} = k. G est l’autre point recherché.

Remarque : Pour plus de rigueur il conviendrait de raisonner en mesure algébrique.

Moyenne harmonique : AB est la moyenne harmonique de AG et de AC, c’est-à-dire que \dfrac{2}{AB} = \dfrac{1}{AG} + \dfrac{1}{AC}.

\dfrac{GA}{GB} = \dfrac{CA}{CB} donc \dfrac{GA}{CA} = \dfrac{GB}{CB} = \dfrac{GA + GB}{CA + CB} = \dfrac{AB}{CA + CB}. D’où GA = \dfrac{AB \times CA}{CA + CB}

\dfrac{1}{AG} + \dfrac{1}{AC} = \dfrac{CA + CB}{AB \times CA} + \dfrac{1}{AC} = \dfrac{CA + CB + AB}{AB \times CA} = \dfrac{2CA}{AB \times CA} = \dfrac{2}{AB}.

Cas extrême : k=1, alors G est le milieu de [AB], donc GA = \dfrac{AB}{2}.

L’égalité \dfrac{2}{AB} = \dfrac{1}{AG} + \dfrac{1}{AC} devient \dfrac{2}{AB} = \dfrac{2}{AB} + \dfrac{1}{AC}, ce qui implique que \dfrac{1}{AC} = 0, autrement dit que la distance AC tend vers l’infini.