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Deux segments de même longueur

Étant donnés un segment et un point, comment construire un second segment à partir de ce point et ayant une longueur égale à celle du premier segment ?

Construction :

On souhaite dupliquer le segment [AB] en un segment dont l’une des extrémités est le point C.

  1. On trace le triangle équilatéral ADC.
  2. On trace le cercle de centre A et de rayon AB.
  3. La droite (DA) coupe ce cercle au point E.
  4. On trace le cercle de centre D et de rayon DE.
  5. La droite (DC) coupe ce second cercle au point F. Le segment [CF] a la même longueur que [AB].

Explications :

(1) DF=DC+CF et DE=DA+AE.

Par construction les points E et F appartiennent au cercle de centre D et de rayon DE, donc DF = DE.

De plus ADC est un triangle équilatéral donc DC=DA.

De l’égalité (1) il vient donc que CF=AE.

Comme E et B appartiennent au cercle de centre A et de rayon AB, on a donc  AB = AE. Mais comme AE=CF, on peut conclure que AB=CF.

Remarque : Il s’agit de la proposition I.2 des Éléments d’Euclide.