Dérivées des fonctions sinus et cosinus

On va montrer que \sin'x = \cos x et que \cos'x = -sin x

Dérivée de sinus : Soit a \in \mathbb{R}. On va déterminer les nombres dérivés en a des fonctions sinus et cosinus.

\dfrac{\sin (a+h) - \sin a}{h} = \dfrac{ \sin a \cos h + \sin h \cos a - \sin a}{h} = \dfrac{\sin h}{h} \cos a + \dfrac{\cos h - 1}{h} \sin a.

Nous savons que \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{ \sin h}{h} = 1 et que \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{ 1 - \cos h}{h}= 0.

Par conséquent \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{\sin (a+h) - \sin a}{h}= \cos a.

Dérivée de cosinus : On rappelle que \cos x = \sin \left ( \dfrac{\pi}{2} - x \right ). Donc \cos'x = - \sin' \left ( \dfrac{\pi}{2} - x \right ) = - \cos \left ( \dfrac{\pi}{2} - x \right ) = - \sin x

Résultats utilisés :

 

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