Constructions du nombre d’or

Une construction du nombre d’or se trouve dans l’article Le nombre d’or.

Construction n°1 :

Construction n°2 :

On trace un rectangle ABCD de dimensions 1 et 2.
On place le point E milieu de [AB].
On trace la droite perpendiculaire à (AB) passant par E.
On trace la bissectrice de l’angle $\widehat{CBD}$ . Cette bissectrice rencontre la droite perpendiculaire à (BC) au point F.
On trace la droite perpendiculaire à (EF) passant par F. Elle coupe la droite (BC) en H.
$HB = \phi$ .

Explications :

Posons $\widehat{CBF} = \alpha$ . Alors $\widehat{CBD} = 2 \alpha$ .

$\tan{2 \alpha} = \dfrac{CD}{CB} = 2$ . (1)

Par ailleurs $\tan{2 \alpha} = \dfrac{2 \tan{\alpha}}{1 - tan^2 \alpha}$ .

Donc (1) s’écrit après simplification : $\dfrac{\tan{\alpha}}{1 - tan^2 \alpha} = 1$ soit $1 - tan^2 \alpha = \tan{\alpha}$ , c’est-à-dire : $\tan^2 \alpha + \tan{\alpha} -1 = 0$ .

En divisant par $\tan^2 \alpha$ , on obtient : $1 + \dfrac{1}{\tan{\alpha}} - \dfrac{1}{\tan^2{\alpha}} = 0$ . C’est-a-dire : $\left ( \dfrac{1}{\tan{\alpha}} \right ) ^2 - \dfrac{1}{\tan{\alpha}} - 1 = 0$ (2).

La racine positive de l’équation (2) est $\phi$ , donc $\phi = \dfrac{1}{\tan{\alpha}} = \dfrac{HB}{HF} = HB$ puisque $HF = 1$ .

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