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Constructions du nombre d’or

Une construction du nombre d’or se trouve dans l’article Le nombre d’or.

Construction n°1 :

 

 

 

 

 

 

Construction n°2 :

  • On trace un rectangle ABCD de dimensions 1 et 2.
  • On place le point E milieu de [AB].
  • On trace la droite perpendiculaire à (AB) passant par E.
  • On trace la bissectrice de l’angle \widehat{CBD}. Cette bissectrice rencontre la droite perpendiculaire à (BC) au point F.
  • On trace la droite perpendiculaire à (EF) passant par F. Elle coupe la droite (BC) en H.
  • HB = \phi.

Explications :

Posons \widehat{CBF} = \alpha. Alors \widehat{CBD} = 2 \alpha.

\tan{2 \alpha} = \dfrac{CD}{CB} = 2. (1)

Par ailleurs \tan{2 \alpha} = \dfrac{2 \tan{\alpha}}{1 - tan^2 \alpha}.

Donc (1) s’écrit après simplification : \dfrac{\tan{\alpha}}{1 - tan^2 \alpha} = 1 soit 1 - tan^2 \alpha = \tan{\alpha}, c’est-à-dire : \tan^2 \alpha + \tan{\alpha} -1 = 0.

En divisant par \tan^2 \alpha, on obtient : 1 + \dfrac{1}{\tan{\alpha}} - \dfrac{1}{\tan^2{\alpha}} = 0. C’est-a-dire : \left ( \dfrac{1}{\tan{\alpha}} \right ) ^2 - \dfrac{1}{\tan{\alpha}}  - 1 = 0 (2).

La racine positive de l’équation (2) est \phi, donc \phi = \dfrac{1}{\tan{\alpha}} = \dfrac{HB}{HF} = HB puisque HF = 1.