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Condition pour une bissectrice

Soient ABC un triangle et M un point du segment [BC]. La droite (BM) est la bissectrice intérieure de l’angle \widehat{ABC} si \dfrac{BA}{BC} = \dfrac{MA}{MC}.

Explications :

On trace la droite (KM) parallèle à (BC) afin de pouvoir utiliser le théorème de Thales et démontrer que KB = KM.

On observe que \widehat{BMK} = \widehat{MBC} = \beta.

\dfrac{KB}{KA} = \dfrac{MC}{MA} = \dfrac{BC}{BA}.

\dfrac{BA}{KA} = \dfrac{BC}{KM} donc \dfrac{KM}{KA} = \dfrac{BC}{BA}.

Donc \dfrac{KB}{KA} = \dfrac{KM}{KA}, soit KB =KM.

Ainsi le triangle KMB est isocèle en B. Ce qui permet de conclure que \alpha = \beta.

(BM) est bien la médiatrice intérieure de \widehat{ABC}.

Voir la réciproque : Sécante découpée par une bissectrice