Dérivées des fonctions sinus et cosinus

On va montrer que $\sin'x = \cos x$ et que $\cos'x = -sin x$

Dérivée de sinus : Soit $a \in \mathbb{R}$ . On va déterminer les nombres dérivés en $a$ des fonctions sinus et cosinus.

$\dfrac{\sin (a+h) - \sin a}{h} = \dfrac{ \sin a \cos h + \sin h \cos a - \sin a}{h} = \dfrac{\sin h}{h} \cos a + \dfrac{\cos h - 1}{h} \sin a$ .

Nous savons que $\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{ \sin h}{h} = 1$ et que $\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{ 1 - \cos h}{h}= 0$ .

Par conséquent $\lim \limits_{h \to 0} \dfrac{\sin (a+h) - \sin a}{h}= \cos a$ .

Dérivée de cosinus : On rappelle que $\cos x = \sin \left ( \dfrac{\pi}{2} - x \right )$ . Donc $\cos'x = - \sin' \left ( \dfrac{\pi}{2} - x \right ) = - \cos \left ( \dfrac{\pi}{2} - x \right ) = - \sin x$

Résultats utilisés :

Les fonctions sinus et cosinus dérivables en 0
Sinus de somme d’angles

Dérivées des fonctions sinus et cosinus

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